limes von 1^2+2^2+3^2+...+n^2 über n^3

Question

Welcher Zahl strebt T(n) bei unbegrenzt wachsendem n zu?

$$ T(n) = \frac { 1^2+2^2+3^2+\dots +n^2 }{ n^3 } $$

Ich bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe.

Answer 1

Für den Zähler gibt es eine Formel (kannst du mit vollst. Ind. beweisen)
 (1/3)*n^3  +  (1/2)n^2 + (1/6) n
also T(n) =   (1/3)   +  (1/(2n))  +   1/(6n^2)   also Grenzwert   1/3

 

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Herzlichen Dank für die Antwort! 

Mit anderen Worten: Man kann dies nur mittels der Umformung lösen? 

Ausserdem: Was ist das bitte für eine Art von Folge (müsste meiner Meinung nach geometrisch sein, jedoch finde ich kein sinnvolles q).

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ist weder geometrisch noch arithmetisch.

Bei Folgen mit so einem Bruchterm wie

 (1/3)*n³  +  (1/2)n² + (1/6) n   /   n^3  

rechnest du am besten aus und erhältst

T(n) =   (1/3)   +  (1/(2n))  +   1/(6n²)  

nun sieh dir die Summanden an:

der erste hängt gar nicht von n ab ist immer 1/3

die anderen beiden haben das n im Nenner.

setz doch bei (1/(2n)) mal n=100 ein, dann hast du 0,005

und dann mal n=1000

und dann 10000

Dann merkst du, das gibt für großes n ungefähr Null

und beim 3. Summanden auch.

Also bleibt letztlich nur das 1/3

Das ist der Grenzwert.

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Ich verstehe. Gibt es denn eine Bezeichnung für diese Art von Folgen? (Im Sinne von "geometrisch" "arithmetisch").

Auf jeden Fall besten Dank für Deine Antwort! 

Answer 2

Tipp: $$ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) $$

Gruß

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Hallo und Dankeschön für Deine erneute Hilfe! (:

Gibt es bitte einen speziellen Namen für diese Formel? 

Wäre ehrlich gesagt nie auf so eine Formel gekommen. :/ 

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Immer gerne =).

das ist die Summe der ersten n Quadrate auch bekannt als quadratische Pyramidalzahl. Diese Formel wird sehr oft beim Thema vollständige Induktion behandelt.

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Aha, super, merci nochmals. (: 

Answer 3

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n·(n + 1)·(2·n + 1)/6 = n^3/3 + n^2/2 + n/6

T(n) = (n^3/3 + n^2/2 + n/6) / n^3 = 1/3 + 1/(2·n) + 1/(6·n^2)

Grenzwert sollte also 1/3 sein.

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Auch Dir: Dankeschön für die Antwort! Gibt es bitte für diese Formel einen Namen?

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Ich weiß nicht genau ob es dafür einen speziellen Namen gibt. Bei Wikipedia findet man sie bei der gaußschen Summenformel. Die gaußsche Summenformel ist aber eigentlich ohne die Quadrate.

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Ah, trotzdem vielen Dank!