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Seien U und V Untervektorräume des K-Vektorraums W.

a) Wann ist die Vereinigung U ∪ V ein Untervektorraum von W?

b) Wann ist U ∪ V = $$\left< U,V \right> $$?

c) Wann ist W \ U ein Untervektorraum?


Ich weiß nicht weiter. :)

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c) jedenfalls nie, denn in einem Unterraum muss immer der Nullvektor sein.

da er in W und in U ist, ist er nicht in W \ U, also kein Unterraum.

a) Wann ist die Vereinigung U ∪ V ein Untervektorraum von W?

wenn U ∪ V ein Untervektorraum ist, gilt für alle u aus U und v aus V

u und v beide in U ∪ V, also wegen Untervektorraum  u+v aus U ∪ V,

also  u+v aus U    oder  u+v aus V

mit u+v aus U und wegen -u in U ist auch deren Summe also v in U

oder mit dem gleichen Argument  u in V.

Also geht es nur, wenn U Unterraum von V oder V Unterraum von U ist.

b) Wann ist U ∪ V = Eruegnis von U und V  siehe b)


da das Erzeugnis immer ein Unterraum von W ist, ist


U ∪ V   dann also ein Unterraum und dann siehe b)

U,V

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