In dieser Aufgabe geht es um die Komposition linearer Abbildungen. Dazu sind im Applet zwei lineare Abbildungen \( F \) und \( G \) gegeben.
a) Berechnen Sie das Bild des im Applet gegebenen Elements \( p \) unter der Abbildung \( F \) also \( F(p) \).
\( \mathrm{F}: \quad \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 1}[x] \)
\( \left[\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right] \mapsto 2 \cdot b-2 \cdot c \cdot x \)
\( p=\left[\begin{array}{l}-3 \\ 0 \\ 2\end{array}\right] \)
\( F(p) = \cdots \)
b) Berechnen Sie das Bild des im Applet gegebenen Elements \( q \) unter der Abbildung \( G \), also \( G(q) \).
\( \mathbb{R}^{2,2} \rightarrow \quad \mathbb{R}^{3} \)
\( \left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{cc}2 \cdot b \\ a+c \\ -b\end{array}\right] \)
\( q=\left[\begin{array}{ll}-3 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right] \)
\( G(q) = \begin{pmatrix} ? \\ ? \\ ? \end{pmatrix} \)
c) Entscheiden Sie, welche Komposition von \( F \) und \( G \) möglich ist. Aus welchem Vektorraum ist das Bild des im Applet gegebenen Elements \( r \) unter der Abbildung \( F \circ G \) bzw. \( G \circ F ? \) Berechnen Sie das Bild von \( r \) unter der Abbildung \( F \circ G \) bzw. \( G \circ F \) also \( (F \circ G)(r) \) bzw. \( (G \circ F)(r) \)
\( \mathrm{F}: \quad \mathbb{R}^{3} \rightarrow \quad \mathbb{R}_{\leq 1}[x] \)
\( \left[\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right] \mapsto 2 \cdot b-2 \cdot c \cdot x \)
\( G: \mathbb{R}^{2,2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \)
\( \left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{c}2 \cdot b \\ a+c \\ -b\end{array}\right] \)
\( r=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -3\end{array}\right] \)
Eine mögliche Abbildungskomposition ist: "F ° G" oder "G ° F" (auswählen)
… ° … ist eine Abbildung von ℝ^{2,2} nach (auswählen):
\( \mathbb{R}^{2} \\ \mathbb{R}^{3} \\ \mathbb{R}_{\leq 1}[x] \\ \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \\ \mathbb{R}^{2,2} \\ \mathbb{R}^{1,3} \)
