Man ermittle Bereiche, in denen die angegebene Funktion monoton wachsend oder fallend ist

Question

$$f(x)= -12x^2+8x-1 $$Ich habe mir überlegt, dass ich weiter komme, wenn ich die erste Ableitung gleich Null setze und nach x auflöse, so erhalte ich ja diejenige Stelle oder Stellen, an welcher oder welchen die Tangente horizontal ist, also die Steigung 0 beträgt. So habe ich ja dann gleich eine Intervallsgrenze.

$$ f'(x)=-24x+8$$$$-24x+8 = 0$$

$$-24x = -8$$

$$x = \frac {1}  {3}$$Leider versteh' jetzt nicht ganz, wie ich darauf komme, ob die Funktion nun rechts von dieser Grenze steigt oder fällt.

Answer 1

Das ist eine nach unten offene Parabel. Selbstverständlich steigt sie zunächst und fällt dann.

Comments

Ist mir auch gerade eingefallen. :)

Kann man jedoch davon ausgehen, dass sie streng wächst und streng fällt oder lediglich wächst und fällt?

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Sie ist streng monoton wachsend und dann streng monoton fallend.

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nicht "streng" würde ja bedeuten : es gibt Bereiche über denen es konstant ist

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Stimmt. und das ist bei solchen quadratischen Funktionen ja nicht der Fall.

Answer 2

Du kannst die erste Ableitung nicht nur dazu benutzen Stellen
mit waagerechter Tangente zu bestimmen sondern auch um die
Monotonie festzustellen

Stellen mit waagerechter Tangente
f ´( x ) = -24x + 8 = 0
x = 1/3

Monotonie > 0
f ´( x ) = -24x + 8 > 0
24x < 8
x < 1/3

Monotonie < 0
f ´( x ) = -24x + 8 < 0
24x > 8
x > 1/3

Die Funktion ist steigend im Bereich ] -∞ ; 1/3 [ und fallend im
Bereich ] 1/3 ; ∞ [  .

Comments

Herzlichen Dank, man kann also auch einfach eine Ungleichung bilden. Hätte mir auch einfallen können.

:)

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Na ja, ich würde den Weg, den Du beschritten hast, bevorzugen. Man macht Ähnliches nur auf einfachere Weise und mit weniger Aufwand. Und schließlich bildet eine Extremstelle immer die Grenze zweier Monotoniebereiche.