Rad (V,b)=< vi / i element I > mit Rad das Radikal

Question

Sei A=(v1,...,vn) Orthogonalbasis eines symmetrischen bilinearen Raums

(V,b) über K und sei I die menge aller i=1...n. Weiter sei b(vi,vi)=0.

Zeigen sie Rad (V,b) = < vi / i element I >. Dabei ist Rad das Radikal.

Wer kann mir helfen? Ich habe keine Ahnung wie ich da anfangen soll. Danke.
.

Answer 1

Zu zeigen ist für beliebiges \(i\in I\):

\(b(v_i, v)=0\; \forall v\in V\).

Da die \(v_j, \; j\in I\) eine Basis von \(V\) bilden, reicht es zu zeigen, dass

\(b(v_i,v_j)=0\) ist für \(j=1,\cdots,n\).

Für \(j\neq i\) ist das der Fall, da die \(v_1,\cdots,v_n\) paarweise orthogonal zueinander

sind (Orthogonalbasis)  und \(b(v_i,v_i)=0\) gilt nach Voraussetzung.