stellen sie die Lösungen der Gleichung z2 + 5 = 4i in der Normalform dar.
z2 + 5 = 4i
z^2 = -5 + 4i
Habt ihr die Polardarstellung mit Winkel und Betrag eingeführt?
Wenn nicht
(x+iy)^2 = -5 + 4i
x^2 - y^2 + i*2xy = -5 + 4i
Nun Real- und Imaginärteil trennen
x^2 - y^2 = -5 (I)
2xy = 4 (II)
Nun dieses Gleichungssystem nach x und y auflösen.
x2 - y2 = -5 (I)
x = 2/y oben einsetzen
(2/y)^2 - y^2 = -5 |*y^2
4 - y^4 = -5y^2
0 = y^4 - 5y^2 - 4
y^2 = 1/2 (5 ± √(25 + 16))
y^2 = 1/2(5±√41) Nur pos. y^2 wichtig.
y^2 = 1/2(5+√41)
y= ±√(1/2(5+√(41))
x= ±2/√(1/2(5+√(41))
Rechne mal bis hier hin nach. Dann zu jedem y noch ein x berechnen mit (II)
Endlösung zum vergleichen ?
danke
Kontrolle: Am Schluss z=x+iy formal quadrieren. Auf dem Papier hast du bessere Übersicht.
also :
z1 = 0,35 + 5,7i (ungefähr )
z2 = 2,85 - 0,7i (ungefähr )
ist das richtig ?
Ich habe für y ungefähr 2.4 und für x ca. 0.84. beide Plus und Minus.
Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%280.84+%2B+2.4i%29%5E2
Dein z1 ist etwas arg daneben: ( 0.35 + 5.7i )^2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+0.35+%2B+5.7i++%29%5E2
Theoretisch sicher ist, dass z1 = -z2 rauskommen muss.
Ein anderes Problem?
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