Strahlensatz. Drehkegel in Drehkegel einbeschreiben.

Question

Ich stehe wieder einmal an: 

Ein Drehkegel mit dem Radius R und der Höhe H soll einen auf dem Kopf stehenden Drehkegel mit dem Radius r und der Höhe h beinhalten. Welches Volumen kann der beinhaltete Drehkegel (also der der auf dem Kopf steht und den Radius r und die Höhe h hat) maximal haben?

Also die Hauptbedingung ist klar: V=(1/3)*r^2*π*h

Als Nebenbedingung hätte ich mich für: H/R=(H-h)/r Der Ausgangspunkt der Strahlen war für mich die Spitze des äußeren Drehkegels.

Danach habe ich die NB in die Ableitung der HB eingesetzt: r^2*[H-(Hr)/R]=0 Wie geht's weiter?Stimmt das überhaupt?

Wie komme ich auf h, wie komme ich auf r und wie auf das Volumen??

Answer 1

Danach habe ich die NB in die Ableitung der HB eingesetzt:

 r²*[H-(Hr)/R]=0    ????   Wie geht's weiter?Stimmt das überhaupt?
V(r) = (1/3) r^2 * [H-(Hr)/R] * pi
      = (1/3) r^2 *H [(1-r/R] * pi
= (1/3) *pi *H  (1-r/R)*r^2
= (1/3) *pi *H    * (r^2-r^3 / R)
  (2r-3r^2 / R)
V ' (r) = (1/3) *pi *H    *( r - 3r^2 / R )
Und jetzt die Ableitung gleich 0 setzen gibt      r - 3r^2 / R  = 0
r=0  oder   1 -  3r / R = 0
                     1 =  3r / R
                     R/3 = r   Für dieses r ist Volumen max.

Comments

Danke für die Antwort, aber die Lösung müsste r = (2R)/3 lauten...

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Na klar, habe bei der Ableitung die 2 vergessen:   V ' (r) = (1/3) *pi *H    *( 2r - 3r² / R )

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Danke nochmals... Aber diese Aufgabe macht mich wirklich fertig.... Wenn ich h berechnen soll, komme ich auf Folgendes:Was mache ich jetzt schon wieder falsch :/?

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Du hast ja dieses Mal die Nebenbed. nach r aufgelöst.

(einfacher wäre es mit h=... zu arbeiten) und dann

hast du eingesetzt, das gab

(   HR  - hR   /  H   )^2   

und beim Auflösen der Klammer hast du die binomische Formel nicht beachtet,

Im Zähler gäbe das    H^2 R^2  - 2 h*H*R^2 + h^2 * R^2 )

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Ja, schon.... Nur, wenn ich das Binom auflöse erhalte ich h=H, aber e s sollte h=H/3 lauten...

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Da hast du dich nochmal vertan:

1/3 pi *h*R^2 *   [ H^2 - 2h*H + h^2    /   H^2  ]    Du hattest da 1 .

Und bevor du ableitest, musst du das h vor der Klammer hinein multiplizieren

oder beim Ableiten die Produktregel anwenden.

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es will einfach nicht funktionieren... Ich glaube, ich kann es noch 100x rechnen und komme nicht aufs Ergebnis...

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Ist doch beinahe alles top. Die 5. Gl. von unten hat noch einen Fehler:

statt 4Hh^2 / H^2 muss es 4Hh / H^2 heißen.

Dann gibt es als nächstes

3h^2 - 4Hh + H^2 = 0     | : 3

h^2 - 4Hh / 3  + H^2 / 3 = 0

und das ist jetzt eine quadr. Gleichung für h und mit pq-Formel oder

quadr. Ergänzung bekommst du

h=H oder  h= H/3 , also alles paletti.

Answer 2

Hier meine Berechnung 

mfg Georg

Comments

Danke für die Antwort. Leider darf das Volumen aber nicht durch r und h ausgedrückt werden (Die einzigen Variablen sind R und H). 

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Leider ist der 2.Teil meiner Skizzen irgendwie nicht eingestellt worden.

Ich muß mir das nochmals genauer ansehen und lasse nach dem
Mittagessen wieder von mir hören.

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Bei mir kommt also h = H / 3 heraus. In f eingesetzt ergibt sich
f ( H / 3 ) = 2 / 3 * R = r

Maximales Volumen hat der innere Kegel bei

V = 1/3 * π * r^2 * h
V = 1/3 * π * (2/3 * R )^2 * H / 3
V = 1 / 3 * 4 / 9 * R^2 * H / 3
V = 1 / 3 * π * ( 4 / 27 ) * R^2 * H

Gegenüber dem äußeren Kegel von
V = 1 / 3 * π * R^2 * H

hat der innere Kegel nur 4 / 27 des Volumens.

Ich hoffe alles stimmt.