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Ich stehe wieder einmal an:

Ein Drehkegel mit dem Radius R und der Höhe H soll einen auf dem Kopf stehenden Drehkegel mit dem Radius r und der Höhe h beinhalten. Welches Volumen kann der beinhaltete Drehkegel (also der der auf dem Kopf steht und den Radius r und die Höhe h hat) maximal haben?

Also die Hauptbedingung ist klar: V=(1/3)*r^2*π*h

Als Nebenbedingung hätte ich mich für: H/R=(H-h)/r Der Ausgangspunkt der Strahlen war für mich die Spitze des äußeren Drehkegels.

Danach habe ich die NB in die Ableitung der HB eingesetzt: r^2*[H-(Hr)/R]=0 Wie geht's weiter?Stimmt das überhaupt?


Kann mir bitte jemand helfen? Wie komme ich auf h, wie komme ich auf r und wie auf das Volumen??

von

2 Antworten

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Beste Antwort
Danach habe ich die NB in die Ableitung der HB eingesetzt:

 r2*[H-(Hr)/R]=0    ????   Wie geht's weiter?Stimmt das überhaupt?
V(r) = (1/3) r^2 * [H-(Hr)/R] * pi
      = (1/3) r^2 *H [(1-r/R] * pi
= (1/3) *pi *H  (1-r/R)*r^2
= (1/3) *pi *H    * (r^2-r^3 / R)
  (2r-3r^2 / R)
V ' (r) = (1/3) *pi *H    *( r - 3r^2 / R )
Und jetzt die Ableitung gleich 0 setzen gibt      r - 3r^2 / R  = 0
r=0  oder   1 -  3r / R = 0
                     1 =  3r / R
                     R/3 = r   Für dieses r ist Volumen max.
von 228 k 🚀
Danke für die Antwort, aber die Lösung müsste r = (2R)/3 lauten...

Na klar, habe bei der Ableitung die 2 vergessen:   V ' (r) = (1/3) *pi *H    *( 2r - 3r2 / R )

Danke nochmals... Aber diese Aufgabe macht mich wirklich fertig.... Wenn ich h berechnen soll, komme ich auf Folgendes:Bild MathematikWas mache ich jetzt schon wieder falsch :/?

Du hast ja dieses Mal die Nebenbed. nach r aufgelöst.

(einfacher wäre es mit h=... zu arbeiten) und dann

hast du eingesetzt, das gab

(   HR  - hR   /  H   )^2

und beim Auflösen der Klammer hast du die binomische Formel nicht beachtet,

Im Zähler gäbe das    H^2 R^2  - 2 h*H*R^2 + h^2 * R^2 )

Ja, schon.... Nur, wenn ich das Binom auflöse erhalte ich h=H, aber eBild Mathematik s sollte h=H/3 lauten...

Da hast du dich nochmal vertan:

1/3 pi *h*R^2 *   [ H^2 - 2h*H + h^2    /   H^2  ]    Du hattest da 1 .

Und bevor du ableitest, musst du das h vor der Klammer hinein multiplizieren

oder beim Ableiten die Produktregel anwenden.

es will einfach nicht funktionieren... Ich glaube, ich kann es noch 100x rechnen und komme nicht aufs Ergebnis...Bild Mathematik

Ist doch beinahe alles top. Die 5. Gl. von unten hat noch einen Fehler:

statt 4Hh^2 / H^2 muss es 4Hh / H^2 heißen.

Dann gibt es als nächstes

3h^2 - 4Hh + H^2 = 0     | : 3

h^2 - 4Hh / 3  + H^2 / 3 = 0

und das ist jetzt eine quadr. Gleichung für h und mit pq-Formel oder

quadr. Ergänzung bekommst du

h=H oder  h= H/3 , also alles paletti.


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Hier meine BerechnungBild Mathematik 

mfg Georg

von 111 k 🚀

Danke für die Antwort. Leider darf das Volumen aber nicht durch r und h ausgedrückt werden (Die einzigen Variablen sind R und H).

Leider ist der 2.Teil meiner Skizzen irgendwie nicht eingestellt worden.

Bild Mathematik Ich muß mir das nochmals genauer ansehen und lasse nach dem
Mittagessen wieder von mir hören.

Bei mir kommt also h = H / 3 heraus. In f eingesetzt ergibt sich
f ( H / 3 ) = 2 / 3 * R = r

Maximales Volumen hat der innere Kegel bei

V = 1/3 * π * r^2 * h
V = 1/3 * π * (2/3 * R )^2 * H / 3
V = 1 / 3 * 4 / 9 * R^2 * H / 3
V = 1 / 3 * π * ( 4 / 27 ) * R^2 * H

Gegenüber dem äußeren Kegel von
V = 1 / 3 * π * R^2 * H

hat der innere Kegel nur 4 / 27 des Volumens.

Ich hoffe alles stimmt.

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