Verständnisproblem Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Question

Ich habe folgendes Verständnisproblem: 1. Stetige Funktionen: Ist die Funktion f(x)=2 stetig? Also kann ein einziger Punkt stetig sein?
Und
2. Differenzierbarkeit: Ist die Funktion f(x)=2 differenzierbar? Wenn man die Ableitung bestimmt, so wäre dies ja f'(x)=0  Aber wenn ich die Definition von Differenzierbarkeit anwende, erhalte ich:
Zum Einen: Lim x↦x₀ ( f((x)-f(x₀))/(x-x₀) )= (2-2)/(2-2)=0
Und zum anderen mit der h-Methode: Lim x↦h ( ((f(x) + h)-f(x))/(h) )=( 2+h-2)/h=1
Hoffa ihr könnt Mir Weiterhelfen :) Schonmal vielen Dank Sandra

Answer 1

f(x) = 2 ist ja nicht eine Funktion, deren Graph nur ein Punkt ist, sondern
der Graph ist eine Gerade, die in der Höhe y=2 parallel zur x-Achse läuft,
weil ja zu jedem x der gleiche y-Wert 2 zugeordnet wird.

Und dann ist auch einsichtig, dass die Funktion stetig
(durchgehende Linie) und differenzierbar
(Steigung ist überall gleich 0 ) ist.
ujnd Lim x↦x₀ ( f((x)-f(x₀))/(x-x₀) )= (2-2)/(x-x0)=0

Comments

Prima, vielen Dank. Da stand ich wohl echt auf dem Schlauch. Aber eine Frage habe ich noch, warum geht denn die h Methode nicht?

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Oh, blöder Fehler, hat sich erledigt :D Danke nochmal :)

Answer 2

Ich habe folgendes Verständnisproblem: 1. Stetige Funktionen:
Ist die Funktion f(x)=2 stetig? Also kann ein einziger Punkt stetig sein?

Du interpretierst die Frage falsch.
f ( x ) = 2 bedeutet : egal welches x eingesetzt wird, der Funktionswert
ist immer 2.

Es handelt sich bei der Funktion um eine zur x-Achse im Abstand 2
parallel verlaufende Gerade.

Diese ist stetig.
Die Steigung der Funktion ist 0. Sie ist auch differenzierbar.