Aufgabe:
(2) \( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{1}{4} n^{4}+\frac{1}{2} n^{3}+\frac{1}{4} n^{2} \).
(3) Nutzen Sie das Ergebnis aus (2), um mittels der Definition (!) RIEMANN-integrierbarer Funktionen die folgende Formel zu beweisen:
\( \int \limits_{0}^{1} x^{3} d x=\frac{1}{4} \)
Ansatz/Problem:
Wir haben (2) mit vollständiger Induktion bewiesen.
Bei (3) definiert man sich ja Teilintervalle, dann die Treppenfunktionen oberhalb und unterhalb der eigentlichen Funktion und berechnet schließlich das Ober- und Unterintegral. Stimmen diese dann überein, ist die Funktion Riemann-integrierbar und \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ x^3dx } \) = Oberintegral = Unterintegral.
Soweit zur Theorie.
Wir haben uns dann die Intervalle \( A_1:= \left[ 0,\frac{1}{n} \right] \) und \( A_k := \left[ \left( k-1 \right) \frac { 1 }{ n } , k\frac { 1 }{ n } \right] \) die natürlich disjunkt und äquidistant sind.
Schließlich definieren wir uns die Treppenfunktionen \( g_n:=\sum _{ k=1 }^{ n }{ \left( \left( k-1 \right) \frac { 1 }{ n } \right) { \chi }_{ { A }_{ k } } } \) und \( h_n:=\sum _{ k=1 }^{ n }{ \left( k\frac { 1 }{ n } \right) { \chi }_{ { A }_{ k } } } \).
Aber berechnen wir nun das Ober- / Unterintegral, erhalten wir nicht die gewünschte Lösung. Kann mir deshalb jemand sagen, ob die Intervalle oben richtig sind? Wir vermuten dort nämlich den Fehler.
