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Fur A;B ∈ M(n n;R) ist der Ausdruck det(A + tB) ein Polynom in t der Form
a0 + a1t1 + a2t2 + + antn ∈ R[t]. Bestimmen Sie den Koeffizienten a1
a) im Fall A = I,

b) im Fall A invertierbar.

Verwenden Sie in Ihrer Formel die Matrix Atilde mit
Atildeij = (-1)i+jStrji(A).

 

Hat jemand eine Idee, Lösung?

Danke

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Beste Antwort

Hier mal ein Lösungsansatz wie man das für A=I komplett von Hand auswursteln kann:

Die Matrix A+tB hat als Diagonaleinträge jeweils 1+t*bii und an allen anderen Stellen bij stehen.

Nun muss man sich überlegen wie genau die Determinante aussieht, das heißt zum Beispiel die Leibniz-Formel anschauen. Diese setzt sich zusammen als Summe aus Produkten aus je n Einträgen der Matrix, wobei aus jeder Zeile und Spalte immer genau ein Eintrag gewählt wird. Dich interessieren hier ja nur die Summanden der Determinante bei denen nur t1 vorkommt. Du kannst sehr leicht überlegen, dass es nur genau ein solches Produkt gibt, bei dem t nicht schon gleich minestens in Potenz 2 auftritt.

Wenn man sich jetzt noch ein wenig Gedanken über das Vorzeichen dieses einzelnen Summanden macht - was nicht sehr schwierig sein sollte :-)  sollte meiner Meinung nach so etwas rauskommen wie ∑i(bii).

Alternativ kannst du auch überlegen wie die Determinante auch dem Laplaceschen Entwicklungssatz hervorgeht, das ist im Grunde das selbe vorgehen.

Am besten du schreibst das dir auch einfach mal hin für eine Matrix mit n=3 oder 4.

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