Polynom / Koeffizient berechnen

Question

Fur A;B ∈ M(n n;R) ist der Ausdruck det(A + tB) ein Polynom in t der Form
a₀ + a₁t¹ + a₂t² + + a_ntⁿ ∈ R[t]. Bestimmen Sie den Koeffizienten a₁
a) im Fall A = I,

b) im Fall A invertierbar.

Verwenden Sie in Ihrer Formel die Matrix A^tilde mit
A^tilde_ij = (-1)^i+jStr_ji(A).

 

Hat jemand eine Idee, Lösung?

Danke

Answer 1

Hier mal ein Lösungsansatz wie man das für A=I komplett von Hand auswursteln kann:

Die Matrix A+tB hat als Diagonaleinträge jeweils 1+t*b_ii und an allen anderen Stellen b_ij stehen.

Nun muss man sich überlegen wie genau die Determinante aussieht, das heißt zum Beispiel die Leibniz-Formel anschauen. Diese setzt sich zusammen als Summe aus Produkten aus je n Einträgen der Matrix, wobei aus jeder Zeile und Spalte immer genau ein Eintrag gewählt wird. Dich interessieren hier ja nur die Summanden der Determinante bei denen nur t¹ vorkommt. Du kannst sehr leicht überlegen, dass es nur genau ein solches Produkt gibt, bei dem t nicht schon gleich minestens in Potenz 2 auftritt.

Wenn man sich jetzt noch ein wenig Gedanken über das Vorzeichen dieses einzelnen Summanden macht - was nicht sehr schwierig sein sollte :-)  sollte meiner Meinung nach so etwas rauskommen wie ∑_i(b_ii).

Alternativ kannst du auch überlegen wie die Determinante auch dem Laplaceschen Entwicklungssatz hervorgeht, das ist im Grunde das selbe vorgehen.

Am besten du schreibst das dir auch einfach mal hin für eine Matrix mit n=3 oder 4.