Voraussetzung: \( f, g_{b}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig, \( f \geqq g \)
Behauptung: \( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x=\int \limits_{a}^{b} g(x) d x → f=g \)
Beweis:
\( \bar{I}(f)=I(f)=\int \limits_{a}^{b} f(x) d x=\int \limits_{a}^{b}(x) d x=I(g)=\bar{I}(g) \\ f \geq g \\ \bar{I}(f) \geqslant I(g) \\ I(f) \geqslant I(g) \)
Zusammen: \( \quad f=g \)
Die erste Zeile des Beweises folgt natürlich aus dem Satz, dass stetige Funktionen Riemann-integrierbar sind.
Sind meine Überlegungen korrekt? Und wenn nein, wie macht man es besser?