+1 Daumen
764 Aufrufe


Sei K ein Körper und A = K2×2 der Ring der 2×2-Matrizen mit Einträgen in K, mit der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen. Wir definieren einen weiteren Ring B ={(k1,k2,k3,k4) | ki ∈ K}, mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation.
Beweisen oder widerlegen:  Die Ringe A und B sind isomorph. 
Zeigen: Die einzigen (beidseitigen) Ideale von A sind (0) und A.
Iw zeige/ Beweise ich das? Ich verzweifle :( DANKE für eure Hilfe!!!  LG :)
Avatar von

2 Antworten

0 Daumen

Alle hier betrachteten Matrizen seien 2x2-Matrizen.

1. Der Ring \(A\) ist bekannterweise nicht kommutativ, der Ring \(B\)

hingegen ist kommutativ, da er komponentenweise kommutativ ist.

Also sind die Ringe nicht isomorph.

2. Es sei \(E_{ij}\) die Matrix, die an der Stelle \((i,j)\) eine 1 hat und sonst lauter

Nullen. Sei \(P=E_{12}+E_{21}\). \(P\) ist eine Permutationsmatrix:

\(M\mapsto PM\) vertauscht die Zeilen von \(M\),

\(M \mapsto MP\) vertauscht die Spalten von \(M\).

Sei nun \(I\neq(0)\) ein Ideal in \(A\). Dann gibt es in diesem Ideal

eine Matrix, die nicht die Nullmatrix ist. Durch etwaige Zeilen- und / oder

Spaltenvertauschungen mithilfe von \(P\) kann man sehen, dass

es in \(I\) eine Matrix \(M=(m_{ij})\) gibt mit \(a:=m_{11}\neq 0\). Man erhält so

\(E_{11}=a^{-1}E_{11}ME_{11}\in I\), folglich auch \(E_{12}=E_{11}P\in I\),

\(E_{21}=PE_{11}\in I\) und \(E_{22}=PE_{12}\in I\).

Da \(I\) offenbar auch ein \(K\)-Untervektorraum von \(A\) ist und wir

nun wissen, dass die \(K\)-Basis \(\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}\) in \(I\) liegt,

ist \(I=A\).

Avatar von 29 k
0 Daumen

Zu Frage 1: Meine Antwort in Kurzform. :-)


blob.png


Also sind die beiden Ringe nicht isomorph.

Avatar von 4,1 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community