Meine Frage bezieht sich auf den Untervektorraum im R3, mit der Eigenschaft:
x2 + y2 + z2 = 0
Der Nullvektor und die Skalarmultiplikation sind schnell gezeigt. Bei der Addition zweier verschiedener Vektoren v = (x, y, z) und w = (a, b, c) folgt als Summe v+w = (x+a, y+b, z+c)
Diese in die Gleichung der o.g. Eigenschaft eingesetzt:
(x+a)2 + (y+b)2 + (z+c)2 = 0
Ergibt mit folgenden Umformungen:
= x2 + 2ax + a2 + y2 + 2by + b2 + z2 + 2cz + c2
= (x2 + y2 + z2) + (a2 + b2 + c2) + 2(ax + by + cz)
= 0 + 0 + 2(ax + by + cz)
Hier komme ich nicht weiter, und sehe als einzige Möglichkeit das Kriterium zu zeigen, zwei gleiche Vektoren miteinander zu addieren. Damit man z.B. auf diese Form kommt:
(x2 + y2 + z2) + (x2 + y2 + z2) + 2(x*x + y*y + z*z)
= 4(x2 + y2 + z2) = 4*0 = 0
Der letzte Term wird wegen x=a, y=b und z=c zu Null wie gewünscht.
Nun frage ich mich ob das soweit zulässig ist, da per Definition soweit mir bekannt, 2 beliebige Vektoren aus U miteinander addiert werden, wobei keine explizite Verschiedenheit gefordert ist. Des Weiteren wird im Nullvektorraum ja auch nur ein Nullvektor auf den anderen addiert um die additive Abgeschlossenheit im Unterraum zu zeigen. Wobei letzten Endes ja beide Vektoren identisch sein müssen aufgrund der Eindeutigkeit des Nullvektors...
Mich wundert das ganze ein bisschen, würde dies bedeuten man könnte ohne Beschränkung in jedem Unterraum das additive Untervektorraumkriterium mit lediglich einem Vektor zeigen, indem man diesen auf sich selber addiert? Und falls ja, warum wird in der Definition überhaupt ein zweiter Vektor gefordert? Dient dies nur um formal zu zeigen dass die Addition auch mit verschiedenen Vektoren möglich ist?
Danke schon mal im voraus für eine Antwort!
Gruß Hansi