Untervektorraumkriterium über Addition zweier identischer Vektoren

Question

Meine Frage bezieht sich auf den Untervektorraum im R³, mit der Eigenschaft:

x² + y² + z² = 0

Der Nullvektor und die Skalarmultiplikation sind schnell gezeigt. Bei der Addition zweier verschiedener Vektoren v = (x, y, z) und w = (a, b, c) folgt als Summe v+w = (x+a, y+b, z+c)

Diese in die Gleichung der o.g. Eigenschaft eingesetzt:

(x+a)² + (y+b)² + (z+c)² = 0

Ergibt mit folgenden Umformungen:

= x² + 2ax + a² + y² + 2by + b² + z² + 2cz + c²

= (x² + y² + z²) + (a² + b² + c²) + 2(ax + by + cz)

= 0 + 0 + 2(ax + by + cz)

Hier komme ich nicht weiter, und sehe als einzige Möglichkeit das Kriterium zu zeigen, zwei gleiche Vektoren miteinander zu addieren. Damit man z.B. auf diese Form kommt:

(x² + y² + z²) + (x² + y² + z²) + 2(x*x + y*y + z*z)

= 4(x² + y² + z²) = 4*0 = 0

Der letzte Term wird wegen x=a, y=b und z=c zu Null wie gewünscht.

Nun frage ich mich ob das soweit zulässig ist, da per Definition soweit mir bekannt, 2 beliebige Vektoren aus U miteinander addiert werden, wobei keine explizite Verschiedenheit gefordert ist. Des Weiteren wird im Nullvektorraum ja auch nur ein Nullvektor auf den anderen addiert um die additive Abgeschlossenheit im Unterraum zu zeigen. Wobei letzten Endes ja beide Vektoren identisch sein müssen aufgrund der Eindeutigkeit des Nullvektors...

Mich wundert das ganze ein bisschen, würde dies bedeuten man könnte ohne Beschränkung in jedem Unterraum das additive Untervektorraumkriterium mit lediglich einem Vektor zeigen, indem man diesen auf sich selber addiert? Und falls ja, warum wird in der Definition überhaupt ein zweiter Vektor gefordert? Dient dies nur um formal zu zeigen dass die Addition auch mit verschiedenen Vektoren möglich ist?

Danke schon mal im voraus für eine Antwort!

Gruß Hansi

Answer 1

hoffe dir ist klar geworden, dass du von anfang an den Nullvektorraum betrachtest. Da dieser nur aus einem Element besteht kannst du zwangsweise nur diesen für die Vektoraddition verwenden. Als Ergebnis kommt natürlich wieder der Nullvektor raus weswegen dieses Kriterium eines UVR offensichtlich erfüllt ist.

Umgekehrt ist jeder K-Vektorraum, der nur aus einem Element besteht mit dem Nullvektorraum zu identifizieren.

Klärt das deine Fragen? Selbstverständlich kann eine Teilmenge des Vektorraums \(V\) die nur aus einem Punkt \(a \neq 0_V \) besteht keinen Untervektorraum ergeben.

Gruß

Comments

Danke, das mit dem Nullvektorraum war mir so nicht bewusst. Klärt aber warum ich in diesem Fall genau die Eigenschaften des Nullraumes nutzen kann.

Du sprichst von einem K-Vektorraum, der nur aus einem Element besteht. Kann man das mit dem einen Element auf den ersten Blick daran ausmachen dass x² + y² + z² = 0, eben nur x=y=z=0, also den Nullvektor v=(0,0,0)  zulässt um gültig zu sein? Oder woran erkenne ich sowas schnell?

Auch wenn die Frage soweit gelöst wurde, da ich mich in einem Untervektorraum befinde, hier noch mal rein interessehalber.

Um noch mal auf die Definition des additiven Kriteriums der Abgeschlossenheit einzugehen:

u, v € U --> u + v € U

Es wird keine Verschiedenheit der Vektoren verlangt. Man könnte beispielsweise u=v und v=u setzen wenn ich mich nicht irre. Also u + v = u + u = v + v € U

Dies ist natürlich notwendig, damit wie du schon sagst, die Addition im Nullvektorraum mit nur einem (Nullelement) möglich ist.

In einem Untervektorraum der nicht der Nullvektorraum ist, kann ich doch theoretisch auch die Abgeschlossenheit der Addition zeigen, indem ich einen Vektor (verschieden vom Nullvektor) mit sich selbst addiere. Was voraus setzt das u=v, also beide Vektoren gleich sind (aber nicht dem Nullvektor entsprechen).

Kann ich mit der Addition eines einzelnes Vektors u + u, ausserhalb des Nullvektorraumes uneingeschränkt die Abgeschlossenheit zeigen ohne mich eines zweiten verschiedenen Vektors bedienen zu müssen?

Danke nochmals und Gruß!

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Ja kann man, da die Quadrate nicht-negative reelle Zahlen sind und in der Summe nur 0 ergeben können, wenn sie selber alle 0 sind. Wie man sowas schnell erkennt? Das verbessert sich natürlich mit der Erfahrung, aber grundsätzlich ist es immer sinnvoll sich klar zu machen welche Mengen durch die Gleichungen beschrieben werden.

Ok hab jetzt auch den zweiten Teil deiner Frage verstanden. Abgeschlossenheit bedeutet die Vektoraddition muss ja für 2 beliebige Vektoren wieder in der Menge liegen. Deswegen musst du es allgemein auch für 2 beliebige Vektoren zeigen. Wenn du denselben Vektor 2 mal nimmst hast bereits eine Einschränkung getroffen. Sonst würde es ja reichen zu zeigen, dass Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation mit einem Skalar aus dem Körper vorliegt!

Vielleicht ein gutes Gegenbeispiel:
Die Vereinigung aller Punkte auf der x- und y-Achse des \(\mathbb{R}^2\) ist kein UVR, erfüllt aber deine gefragte Vorgehensweise.

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Perfekt, jetzt habe ich es verstanden. Insbesondere das Beispiel am Ende hat es verdeutlicht! Würde man lediglich u oder v verwenden würde man über die Addition nicht den Untervektorraum verlassen, und somit keinen Widerspruch herbei führen können.