Wenn an —> a folgt, dass auch on--> a gilt.

Question

 Für eine reelle Folge (an) von n=1 bis unendlich  definieren Wir die Folge

(o_n) durch

(o_n) := 1/n (a₁+ ...+a_n) für n= 1,2,3,...

(a) Zeige: Aus a_n —> a folgt, dass auch o_n--> a gilt.

(b) Finde ein Beispiel für eine divergente Folge (a_n), so dass (a_n) konvergiert.

Begründe die Antwort.

Bei a.) ist es mir irgendwie intuitiv klar aber ich weiss nicht wie ich es zeigen soll.

bei (b) habe ich gedacht so a_n=n+1 dann ist diese Folge ja konvergent aber

o_n = an/n  ist dann konvergent oder mache ich einen Überlegungsfehler?

Comments

So wie du (b) aufgeschrieben hast macht es keinen Sinn.

Answer 1

Zu (a); Sei ε_a>0. Da (a_n) konvergiert, gibt es ein n_a∈ℕ, so dass  i>n_a ⇒ |a-a_i|<ε_a. Konstruiere aus dem ε_a und dem n_a ein passende ε_o und n_o so dass  i>n_o ⇒ |a-o_i|<ε_o. Zeige, dass du ε_o beliebig klein wähen kannst und trotzdem noch ein geeignetes n_o findest.

Zu (b); Ich vermute du meinst, dass (a_n) divergieren soll und  (o_n) konverierne soll. Wähle dazu (a_n) = ((-1)ⁿ)_n∈ℕ

Comments

Zu (a):  muss ich dort das N>ε/n?

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Welches N, ε und n meinst du?

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ja irgendwie muss ja das 1/ n hineinkommen dann habe ich gedacht

n₀> ε_o/n₀

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n₀> ε_o/n₀ gilt genau dann wenn ε_o<1 ist. Die Fälle ε_o≥1 sind aber sowieso uninteressant.

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okay aber was muss ich dann für ein n_o wählen?

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o_n = a_n/n    muss ich dann nicht das gesamte durch n?

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n₀> ε_o/na? stimmt es so? oder bin ich immer noch auf der falschen Färte