Beweisen sie, dass die Summe der geometrischen Verteilung =

Question

Beweise, dass die Summe der geometrischen Verteilung gleich dem obigen Ausdruck ist.

Comments

Wie wäre es mit vollständiger Induktion? Für alle Interessenten: \( p = (1-q) \).

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Habe ich gemacht aber jetzt komme ich nicht mehr weiter:

$$\sum_{k=1}^{n+1}{k(1-p)^{k-1}}= \sum_{k=1}^{n}{k(1-p)^{k-1}} + ((n+1)(1-p)^n) $$

$$ \frac { n*(1-p)^{n+1}-(n+1)(1-p)+1}{ p^2 }+(n+1)(1-p)^n $$

$$ \frac { n*(1-p)^{n+1}-(n+1)(1-p)+1+p^2(n+1)(1-p)^n }{ p^2 } $$

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Du hast bei der IV falsch eingesetzt. Der mittlere Term im ersten Bruch müsste \(...-(n+1)(1-p)^n\) heißen.

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Ah stimmt danke für die Bemerkung.

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Man kann's auch direkt ausrechnen: $$\sum kq^{k-1}=\frac{d}{dq}\sum q^k=\frac{d}{dq}\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$$

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Dieser Weg ist definitiv angenehmer vom Rechenaufwand.

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Was ist mit d/dq gemeint? Ableitung?