Hallo Plya,
Du hast einen Umformungsfehler zwischen der zweiten und dritten Zeile:
$$ -\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}} \neq -\frac{1}{2}\cdot x^{-\sqrt{x}} $$
korrekte Lösung wäre demnach
$$ \begin{aligned} f(x)&=&e^{-\sqrt{x}} = e^{-x^{\frac{1}{2}}} \\ f'(x)&=&e^{-x^{\frac{1}{2}}} \cdot (-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}})= e^{-x^{\frac{1}{2}}} \cdot (-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^\frac{1}{2}})\\ &=&e^{-x^{\frac{1}{2}}} \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{x}})= -\frac{e^{-x^{\frac{1}{2}}}}{2\sqrt{x}}\\ &=& -\frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\\ \end{aligned}$$
Gruß