Question

Beweisen Sie die Behauptung

actanh(x) = 1/2 ln ((1+x)/(1-x))  für x ∈ R und |x| < 1

Comments

Kennst du die Definition von tanh?

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die def lautet doch tanh x= sinh x/cosh xoder nicht?

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Ja genau! Jetzt drückst du das in e^x aus. https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbelfunktion#Definition_.C3.BCber_die_ExponentialfunktionDann kürzst du die 2 weg. Dann solltest du das rausbekommen: https://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_Hyperbolicus_und_Kotangens_Hyperbolicus#DefinitionenDann machst du y= den Bruch und dann löst du nach x auf und du hast was du brauchst.

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nur noch eine frage. wie bekomme ich die e^x aus dem nenner, sodass  ich x alleine habe?

also wenn da steht y= 1- (1)/e^{2x}+1

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1. über dem Bruchstrich steht eine 2;2. Rechenschritte, immer auf beiden Seiten: -1, *(-1), ( )^{-1}, *2, -1, dann links umformen, dass du (1+x)/(1-x) erreichst, dann Wurzel ziehen, dann ln

Answer 1

$$ tanh(x)=\frac { { e }^{ 2x }-1 }{ { e }^{ 2x }+1 } \\ tanh(arctanh(x))=tanh(\frac { 1 }{ 2 } ln(\frac { 1+x }{ 1-x } ))\\ x=tanh(\frac { 1 }{ 2 } ln(\frac { 1+x }{ 1-x } ))\\ { e }^{ 2*\frac { 1 }{ 2 } ln(\frac { 1+x }{ 1-x } ) }={ e }^{ ln(\frac { 1+x }{ 1-x } ) }=\frac { 1+x }{ 1-x } \\ x=\frac { \frac { 1+x }{ 1-x } -1 }{ \frac { 1+x }{ 1-x } +1 }  $$

So bekommst du das e^x weg ;)

Gruß