Beschreibung von Dualräumen (Vektorräume, Untervektorräume, Körper)

Question

Aufgaben:

1) Es sei \( F_{\mathrm{R}} \) der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum aller reellen Folgen, also \( F_{\mathrm{R}}=\Pi_{N_{0}} \mathbb{R} \). Konstruieren Sie ein Element in \( F_{\mathrm{R}}^{* *} \), das nicht \( \mathrm{im} \) Bild von \( i_{F_{\mathrm{x}}} \) ist.

2) a) Es sei \( U \) ein Untervektorraum eines \( K \) -Vektorraums \( V \). Beschreiben Sie den Dualraum des Quotientenvektorraums \( V / U \) durch eine Teilmenge der Linearformen auf \( V \).

b) Beschreiben Sie den Dualraum einer direkten Summe von Vektorräumen \( \bigoplus_{i \in I} U_{i} \) durch die Dualräume der \( U_{i} \). Hierbei kann \( I \) durchaus eine unendliche Menge sein.

3) Es sei \( K \) ein Körper, \( V \) ein \( K \) -Vektorraum der Dimension \( n \) über \( K \) und \( U_{1}, U_{2} \) seien Untervektorraume von \( V_{0} \) Drücken Sie \( \left(U_{1} \cap U_{2}\right)^{0} \) und \( \left(U_{1}+U_{2}\right)^{0} \) durch \( U_{1}^{0} \) und \( U_{2}^{0} \) aus.

4) Es seien \( V \) und \( W \) endlich-dimensionale \( K \) -Vektorräume.

a) Zeigen Sie, dass die Abbildung

\( \operatorname{Hom}_{K}(V, W) \ni f \mapsto f^{*} \in \operatorname{Hom}_{K}\left(W^{*}, V^{*}\right) \)

ein Isomorphismus von \( K \) -Vektorräumen ist.

b) Es sei nun \( V=W \). Ist dann die Abbildung

\( \operatorname{End}_{K}(V) \rightarrow \text { End }_{K}\left(V^{*}\right) \)

ein Isomorphismus von \( K \) -Algebren, wenn wir die Komposition von Abbildungen als Multiplikation verwenden?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

1) Konstruktion eines Elements in \( F_{\mathrm{R}}^{} \), das nicht im Bild von \( i_{F_{\mathrm{x}}} \) ist**

Zuerst erkennen wir, dass \( F_{\mathrm{R}} \) der Raum aller reellen Folgen ist und \( F_{\mathrm{R}}^{*} \) der Dualraum dazu, also der Raum aller linearen Funktionale, die auf \( F_{\mathrm{R}} \) operieren. \( F_{\mathrm{R}}^{**} \), der Bidualraum von \( F_{\mathrm{R}} \), ist dann der Raum aller Funktionale, die auf \( F_{\mathrm{R}}^{*} \) operieren. Die kanonische Einbettung \( i_{F_{\mathrm{x}}} \) ordnet jedem Element in \( F_{\mathrm{R}} \) ein Funktional im Dualraum zu, das durch Auswertung an dieser Stelle wirkt.

Ein Element in \( F_{\mathrm{R}}^{**} \), das nicht im Bild von \( i_{F_{\mathrm{x}}} \) ist, könnte ein Funktional sein, welches von der spezifischen Struktur der Funktionale in \( F_{\mathrm{R}}^{*} \) abhängt und nicht einfach durch Auswertung an einer Stelle einer Folge in \( F_{\mathrm{R}} \) ausgedrückt werden kann. Ein Beispiel könnte ein Funktional sein, das nicht durch eine endliche Linearkombination der Basisvektoren definiert werden kann oder eine unendliche Reihe involviert.

2a) Dualraum des Quotientenvektorraums \( V / U \)

Der Dualraum \( (V / U)^{*} \) kann durch die Menge der Linearformen auf \( V \) beschrieben werden, die auf \( U \) verschwinden. Konkret, wenn \( f \in V^{*} \), dann liegt \( f \) in \( (V / U)^{*} \), falls \( f(u) = 0 \) für alle \( u \in U \). Das bedeutet, dass \( (V / U)^{*} \) isomorph zu dem Raum der Linearformen auf \( V \) ist, eingeschränkt auf \( U \).

2b) Dualraum einer direkten Summe von Vektorräumen

Der Dualraum einer direkten Summe \( \bigoplus_{i \in I} U_{i} \) kann durch die direkte Summe der Dualräume der \( U_{i} \) beschrieben werden: \( \left(\bigoplus_{i \in I} U_{i}\right)^{*} = \bigoplus_{i \in I} U_{i}^{*} \). Dies folgt aus der Tatsache, dass eine Linearform auf der direkten Summe von Vektorräumen durch ihre Aktion auf jedem Untervektorraum \( U_{i} \) eindeutig bestimmt ist.

3) Ausdruck von \( \left(U_{1} \cap U_{2}\right)^{0} \) und \( \left(U_{1}+U_{2}\right)^{0} \) durch \( U_{1}^{0} \) und \( U_{2}^{0} \)

- \( \left(U_{1} \cap U_{2}\right)^{0} \) ist der Annihilator von \( U_{1} \cap U_{2} \) und besteht aus allen Linearformen, die auf \( U_{1} \cap U_{2} \) verschwinden. Dieser kann ausgedrückt werden als \( U_{1}^{0} + U_{2}^{0} \), da Linearformen, die entweder auf \( U_{1} \) oder auf \( U_{2} \) verschwinden, insgesamt auf \( U_{1} \cap U_{2} \) verschwinden.

- \( \left(U_{1}+U_{2}\right)^{0} \) ist der Annihilator von \( U_{1}+U_{2} \) und besteht aus allen Linearformen, die sowohl auf \( U_{1} \) als auch auf \( U_{2} \) verschwinden. Dies entspricht \( U_{1}^{0} \cap U_{2}^{0} \).

4a) Isomorphismus zwischen \( \operatorname{Hom}_{K}(V, W) \) und \( \operatorname{Hom}_{K}\left(W^{*}, V^{*}\right) \)

Da \( V \) und \( W \) endlich-dimensionale Vektorräume über dem Körper \( K \) sind, ist die Menge der linearen Abbildungen von \( V \) nach \( W \), \( \operatorname{Hom}_{K}(V, W) \), ein Vektorraum. Die Abbildung, die jedem \( f \in \operatorname{Hom}_{K}(V, W) \) sein adjungiertes Funktional \( f^{*} \) zuordnet, ist ein Vektorraumisomorphismus, weil sie linear ist und eine eindeutige Inverse hat.

4b) Isomorphismus von \( K \)-Algebren für \( V=W \)

Wenn \( V=W \), dann ist \( \operatorname{End}_{K}(V) \) die Menge der Endomorphismen von \( V \) und \( \operatorname{End}_{K}(V^{*}) \) die der Dualraum. Die Abbildung \( f \mapsto f^{*} \) ist nicht nur ein Isomorphismus von Vektorräumen, sondern auch von Algebren, wenn die Algebrastruktur durch Kompositionen von Abbildungen definiert ist. Dies folgt aus der Eigenschaft der Adjungierten, dass \( (g \circ f)^{*} = f^{*} \circ g^{*} \), was die Kompositionsstruktur respektiert.