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Aufgaben:

1) Es sei \( F_{\mathrm{R}} \) der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum aller reellen Folgen, also \( F_{\mathrm{R}}=\Pi_{N_{0}} \mathbb{R} \). Konstruieren Sie ein Element in \( F_{\mathrm{R}}^{* *} \), das nicht \( \mathrm{im} \) Bild von \( i_{F_{\mathrm{x}}} \) ist.

2) a) Es sei \( U \) ein Untervektorraum eines \( K \) -Vektorraums \( V \). Beschreiben Sie den Dualraum des Quotientenvektorraums \( V / U \) durch eine Teilmenge der Linearformen auf \( V \).

b) Beschreiben Sie den Dualraum einer direkten Summe von Vektorräumen \( \bigoplus_{i \in I} U_{i} \) durch die Dualräume der \( U_{i} \). Hierbei kann \( I \) durchaus eine unendliche Menge sein.

3) Es sei \( K \) ein Körper, \( V \) ein \( K \) -Vektorraum der Dimension \( n \) über \( K \) und \( U_{1}, U_{2} \) seien Untervektorraume von \( V_{0} \) Drücken Sie \( \left(U_{1} \cap U_{2}\right)^{0} \) und \( \left(U_{1}+U_{2}\right)^{0} \) durch \( U_{1}^{0} \) und \( U_{2}^{0} \) aus.

4) Es seien \( V \) und \( W \) endlich-dimensionale \( K \) -Vektorräume.

a) Zeigen Sie, dass die Abbildung

\( \operatorname{Hom}_{K}(V, W) \ni f \mapsto f^{*} \in \operatorname{Hom}_{K}\left(W^{*}, V^{*}\right) \)

ein Isomorphismus von \( K \) -Vektorräumen ist.

b) Es sei nun \( V=W \). Ist dann die Abbildung

\( \operatorname{End}_{K}(V) \rightarrow \text { End }_{K}\left(V^{*}\right) \)

ein Isomorphismus von \( K \) -Algebren, wenn wir die Komposition von Abbildungen als Multiplikation verwenden?

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