Funktionsschar mit Nullstellen und Extrempunkten

Question

Kann mir bitte irgendjemand helfen? Ich bin mathematisch völlig unbegabt und verstehe die Aufgabe, die wir im Unterricht als Hausaufgabe aufbekommen haben, überhaupt nicht ...

Als Aufgabenstellung besteht darin, die vorgegebene Funktionsschar auf Nullstellen und Extrempunkte zu untersuchen. Die Gleichung sieht folgendermaßen aus:

f_a(x) = 1/(12a)x³ - x² + 3ax

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand antworten und die Aufgabe erklären könnte ...

Answer 1

f_a(x) = 1/(12a)x³ - x² + 3ax

Nullstellen:

1/(12a)x³ - x² + 3ax = 0  

⇔ x • (1/(12a)x² - x + 3a) = 0

⇔ x = 0  oder 1/(12a)x² - x + 3a = 0

1/(12a)x² - x + 3a = 0   | • 12a

x² - 12a • x + 36a² = 0  | binomische Formel:

( x - 6a)² = 0

x = 6a  oder x =0 sind also die Nullstellen

Extrempunkte:

f_a'(x) = x²/(4·a) - 2·x + 3·a = 0  | • (4a)

x² - 8a • x + 12a² = 0

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p = 8a ; q = 12a²

x_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

……

x₁ = 2a  , x₂ = 6a   (jeweils mit Vorzeichenwechsel von f ' )

mit dem Vorzeichen von f '' an diesen Stellen kannst du dann den Hoch- und den Tiefpunkt herausfinden (Fallunterscheidung für Vorzeichen von a). Einsetzen in f_a ergibt deren Funktionswerte.

Gruß Wolfgang