Zeige dass d(xn,yn) nach d(x,y) konvergiert

Question

Sei (X,d) ein metrischer Raum. Zeige:

sind \((x_y) ,( y_n)\) zwei Folgen in X und \(x_n\rightarrow x\) und \(y_n\rightarrow y\). Dann gilt

\(d(x_n,y_n) \rightarrow d(x,y)\)

Answer 1

mit der Dreiecksungleichung für die Metrik d gilt:

d(x,y)-d(x_n , x)-d(y_n , y)  <= d(x_n,y_n)<= d(x,y)+d(x_n , x)+d(y_n , y)

für n --> ∞ werden d(x_n , x) und d(y_n , y)  gleich 0.

---> d(x,y)<=d(x_n,y_n)<=d(x,y) (Einschnürungssatz)

--> d(x_n,y_n)--->d(x,y) für n gegen ∞

Comments

Stimmt das:

d(x,y)-d(x_n , x)-d(y_n , y)  <= d(x_n,y_n)<= d(x,y)+d(x_n , x)+d(y_n , y) 

Für mich sieht das irgendwie künstlich aus, denn auf der linken Seite und auf der rechten Seite ist das gleiche. Kannst du mir das erklären?