Sei (X,d) ein metrischer Raum. Zeige:
sind \((x_y) ,( y_n)\) zwei Folgen in X und \(x_n\rightarrow x\) und \(y_n\rightarrow y\). Dann gilt
\(d(x_n,y_n) \rightarrow d(x,y)\)
mit der Dreiecksungleichung für die Metrik d gilt:
d(x,y)-d(xn , x)-d(yn , y) <= d(xn,yn)<= d(x,y)+d(xn , x)+d(yn , y)
für n --> ∞ werden d(xn , x) und d(yn , y) gleich 0.
---> d(x,y)<=d(xn,yn)<=d(x,y) (Einschnürungssatz)
--> d(xn,yn)--->d(x,y) für n gegen ∞
Stimmt das:
Für mich sieht das irgendwie künstlich aus, denn auf der linken Seite und auf der rechten Seite ist das gleiche. Kannst du mir das erklären?
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