ich arbeite gerade das Buch vom Bosch durch und mache dabei die Übungsaufgaben. Bei einer der Aufgaben sollte man folgendes überprüfen:
Sei V ein ℂ-VR. Sei H(V) die Menge aller hermiteschen Formen V x V -> ℂ. Überprüfe, ob H(V) unter der Addition und Skalarmultiplikation von ℂ-Wertigen Funktionen einen ℝ- VR bzw. ℂ-VR bilden.Na gut, ich weiß, dass allgemein für einen beliebigen Körper K und einen beliebigen VR V die Menge Abb(V,K) einen K-VR bildet. Also muss sich ja nur zeigen, dass H(V) ⊂ Abb(V x V, ℂ) ein UVR über ℝ bzw. ℂ ist.Für zwei hermitesche Formen f,g ∈ H(V) und λ ∈ ℂ / λ ∈ ℝ brauch ich also nur überprüfen ob: - (λ*f+g)(α*x+y,v) = α*(λ*f+g)(x,v)+(λ*f+g)(y,v) für α ∈ℂ und x,y,v ∈ V (Linear im ersten Argument) - (λ*f+g)(x,y) =
(λ*f+g)(y,x) <= fett+kursiv = komplex konjugiert(weiß leider nicht wie der Strich geht)Die Linearität war sowohl für λ ∈ ℂ als auch λ ∈ ℝ kein Problem. Bei der Hermitesche Symmetrie war das aber nur für λ ∈ ℝ möglich, da bei λ ∈ ℂ gilt:(λ*f+g)(x,y) = λ*f(x,y)+g(x,y) = λ*
f(y,x) +
g(y,x)Das kann ich ja nicht weiter zusammenfassen, da ich das λ nicht wieder reinziehen kann, da λ konjugiert eine andere Zahl ist.Also ist H(V) ℝ-VR, aber kein ℂ-VR? Oder habe ich da komplett was falsch gemacht? Bin mir ehrlich gesagt nicht wirklich sicher, ob ich das richtig verstanden haben. LG
