Diskutieren Sie die Funktion und Graphen zeichnen für f(x)=x^{3}+x; f(x)=x^4-2; f(x)=x^4+x

Question

Aufgabe:

Diskutieren Sie die Funktion \( \mathrm{f} \) und zeichnen Sie anschließend den Graphen im angegebenen Bereich.

a) \( f(x)=x^{3}+x, \quad-1 \leq x \leq 1 \)

b) \( f(x)=x^{4}-2 x^{2}, \quad-2 \leq x \leq 2 \)

c) \( f(x)=x^{4}+x, \quad-1,5 \leq x \leq 1 \)

d) \( f(x)=x^{4}-2 x^{3}, \quad-1 \leq x \leq 2,5 \)

Comments

 f(x) = x^3 + x.

Auch hier kannst du auf der Suche nach Nullstellen erst mal x ausklammern.

f(x) = x(x^2 + 1) 

x=0 ist einfache Nullstelle von f. Eine weitere Nullstelle gibt es nicht, da (x^2 + 1) nie kleiner als 1 sein kann. 

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Da gibt es aber keinen wendepunkt und auch gibt es keine extremstelle oder? Weil aus negativen Zahlen kann man ja keine Wurzel ziehen oder?

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Was du gerechnet hast, ist alles gut. Aber: 

Einen Wendepunkt gibt es schon. 

Was hast du denn als 2. Ableitung? 

Zur Symmetrie könntest du ohne Rechnung schon etwas sagen, wenn du genau "hinschaust".

Vielleicht genügt dir bereits: 

 

Answer 1

f(x) = x^3 + x ; -1 ≤ x ≤ 1

f'(x) = 3·x^2 + 1

f''(x) = 6·x

Symmetrie

Symmetrie zum Ursprung da x nur in ungeraden Potenzen auftritt.

Verhalten im Unendlichen

lim (x → - ∞) f(x) = - ∞

lim (x → ∞) f(x) = ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 0

Nullstellen f(x) = 0

x^3 + x = x·(x^2 + 1) = 0 --> x = 0

Extrempunkte f'(x) = 0

3·x^2 + 1 = 0 --> Keine Lösung und daher keine Extrempunkte

f(-1) = -2 --> Globales Minimum (-1 | -2)

f(1) = 2 --> Globales Maximum (1 | 2)

Wendepunkte f''(x) = 0

6·x = 0 --> x = 0

f(0) = 0 --> Wendepunkt (0 | 0)