Wie berechne ich eine Gleichung wenn die 2. Ableitung und der Sattelpunkt gegeben ist?

Question

Die Aufgabe lautet

Bekannt ist die zweite Ableitung g''(x)= 3x³ - 6x einer ganzrationalen Funktion g, deren Graph einen Sattelpunkt im Koordinatenursprung aufweist.

Bestimme rechnerisch die Gleichung der Funktion g

Answer 1

g''(x) = 3x^3 - 6x

g'(x) = 3/4*x^4 - 3x^2 + c mit c = 0 weil die Steigung im Sattelpunkt 0 ist

g(x) = 3/20*x^5 - x^3 + c mit c = 0 weil der Graph durch den Ursprung geht

g(x) = 3/20*x^5 - x^3

Answer 2

Beim Aufleiten entstehen Integrationskonstante, die aber gleich Null sind, weil in (0/0) eine waagerechte Tangente vorliegt. Genauer: g'(x) = 3x⁴/4 - 3x² + c. Aus g'(0) =0 folgt c=0. g(x) = 3x⁵/20-x³+d. Aus g(0) = 0 folgt d=0.
Aulso lautet die Funktionsgleichung g(x) = 3x⁵/20-x³