Bestimme adjungierte Abbildung zu f(x,y)= (x-y,2x+y)

Question

Halli

Stehen bei folgender Fragestellung an:

Auf V = ℝ² sei das Skalarprodukt ⟨u,v⟩ = u^tAv gegeben wobei 

A=

1	1
1	2

Bestimme die zur linearen Abbildung f(x,y)= (x-y,2x+y) adjungierte Abbildung. 

Bitten um Hinweise, um diese Aufgabe lösen zu können.

Comments

Was ist adjustiert ?

EDIT: Habe nun "adjungiert" draus gemacht.

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In der Überschrift steht  adjungiert :), unten hat er sich bestimmt vertippt.

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Tut leid.

Ich meine natürlich adjungiert aber die Autokorrektur ist mir zuvorgekommen ;D

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EDIT: adjungiert ist korrigiert.

Sind die Klammern hier: f(x,y)= (x-y,2x+y) alle rund ? - Nur dass da nicht noch irgendwie das Skalarprodukt involviert ist (?)

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ja die sind alle rund!! Außer die, die beim Skalarprodukt dabeistehen. Die haben wir eh eckig gemacht. Die Klammern unten definieren nur die Abbildung.

Aber danke für die Nachfrage.

Answer 1

wenn g die adjungierte ist, muss ja gelten für alle
(x,y) und (a,b) aus IR^2
< f(x,y) , ( a,b) > = < (x,y) , g(a,b) >
also

< (x,y) * ( 1     2 )  ,  ( a,b)^T  >    =  <  ( x,y ) ,  g(a,b )^T >
               -1   1

(x,y) * ( 1     2 )   *   A *  ( a,b)^T      =   ( x,y ) * A *  g(a,b )^T
               -1   1


(x,y) * ( 1     2 )   * (  1  1 ) *  ( a,b)^T      =   ( x,y ) * ( 1  1)*  g(a,b ) ^T
              -1   1        1  2                                            1   2

und wenn g(a,b) =  M * (a,b)^T mit einer Matrix M ist, dann muss gelten

         ( 1     2 )   * (  1  1 )    =          ( 1   1 )  * M
              -1   1        1  2                   (1   2 )

also

     ( 1   1 ) ^-1    *   ( 1     2 )   * (  1  1 )    =        M
       (1   2 )                -1   1        1  2                 

also M =  6       9
                -3     -4

und damit  g( (x,y)^T )  = ( 6x+9y , -3x - 4y ) ^T  .