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Ich habe diese Aufgabe gerade vor mir:

(a)

Sei f : R → R eine stetige Funktion mit f(0) = 0 und sei g : R\{0} → R eine beschränkte stetige Funktion. Zeigen Sie, dass f · g : R\{0} → R dann stetig im Nullpunkt fortsetzbar ist.

(b)

Sei f : [a, b] → [c, d] eine bijektive und monoton wachsende Funktion zwischen abgeschlossenen reellen Intervallen. Zeigen Sie, dass f dann stetig ist.


Ich verstehe nicht wie ich dann die Aufgaben rangehen soll,

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a) betrachte eine Folge xn mit dem Grenzwert 0.

wegen der Stetigkeit von f und f(0) = 0 hat  die Folge   f( xn ) den Grenzwert 0

und g(xn) ist eine beschränkte Folge, also hat das Produkt auch den GW 0 und

läßt sich also durch (f*g) (0) = 0 stetig fortsetzen in 0.

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Vielen lieben Dank!

Könntest du mir bei der b) ebenfalls helfen?

Hab schon drüber nachgedacht, aber bisher ohne Erfolg.

Anschaulich ist es ja klar. Wenn es  monoton steigend

ist und bijektiv , wird mit wachsendem x der Funktion immer

größer., und da die Bildmenge ein Intervall ist, gibt es zwischendurch

keine Lücken ( Das wären ja Unstetigkeitsstellen).  Aber das

ist so ja noch kein formal korrekter Beweis.

b) geht z.B. direkt mit dem \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium. (Beweis durch Widerspruch)

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