Ist die Funktion f*g im Nullpunkt stetig fortsetzbar?

Question

Ich habe diese Aufgabe gerade vor mir:

(a)

Sei f : R → R eine stetige Funktion mit f(0) = 0 und sei g : R\{0} → R eine beschränkte stetige Funktion. Zeigen Sie, dass f · g : R\{0} → R dann stetig im Nullpunkt fortsetzbar ist.

(b)

Sei f : [a, b] → [c, d] eine bijektive und monoton wachsende Funktion zwischen abgeschlossenen reellen Intervallen. Zeigen Sie, dass f dann stetig ist.

Ich verstehe nicht wie ich dann die Aufgaben rangehen soll,

Answer 1

a) betrachte eine Folge x_n mit dem Grenzwert 0.

wegen der Stetigkeit von f und f(0) = 0 hat  die Folge   f( xn ) den Grenzwert 0

und g(xn) ist eine beschränkte Folge, also hat das Produkt auch den GW 0 und

läßt sich also durch (f*g) (0) = 0 stetig fortsetzen in 0.

Comments

Vielen lieben Dank!

Könntest du mir bei der b) ebenfalls helfen?

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Hab schon drüber nachgedacht, aber bisher ohne Erfolg.

Anschaulich ist es ja klar. Wenn es  monoton steigend

ist und bijektiv , wird mit wachsendem x der Funktion immer

größer., und da die Bildmenge ein Intervall ist, gibt es zwischendurch

keine Lücken ( Das wären ja Unstetigkeitsstellen).  Aber das

ist so ja noch kein formal korrekter Beweis.

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b) geht z.B. direkt mit dem \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium. (Beweis durch Widerspruch)