Zeigen SIe dass die Folge (cn) konvergiert

Question

Sei d ∈ ℝ mit d > 0 und (c_n) die Folge definiert durch c₁ = 1 und 

c_n+1 = 1/2 (c_n + d/c_n)

(a) Zeigen Sie, dass c_n für alle n ≥ 2 durch √d von unten beschränkt und monoton fallend ist.

(b) Zeigen Sie, dass (c_n) konvergiert und  lim_n↦∞ c_n = √d

Wäre echt gut  wenn jemand mir helfen konnte :)

Answer 1

Bei a) kannst du genau das machen, was da steht.

b) 

Ich rechne dir mal den Grenzwert c aus, der wegen a) ja existiert. 

c_n+1 = 1/2 (c_n + d/c_n)

Im Grenzfall gilt

c = 1/2 (c + d/c)

c = 1/2 c + d/(2c)   | - 1/2 c

1/2 c = d/(2c) | * 2c

c^2 = d

c = ± √d       , 

Da wegen a) kein Folgenglied neg. ist, kann auch der Grenzwert nicht neg. sein.

Daher lim c_(n) = √d .  

Comments

Vielen Dank Lu ! :) Eine kurze Frage: "c = 1/2 c + d/(2c)   | - 1/2 c"  - das hier, ist es Division oder Subtraction?

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Eine Subtraktion  ;) 

1 c - 1/2 c = 1/2 c