Laplace Operator, Polarkoordinaten

Question

Aufgabe:

Sei \( U ⊂ ℝ^n \) offen. Der Laplace-Operator \( Δ: C^2(U,ℝ) → C^0 (U,ℝ) \) ist definiert durch \( Δf := ∂_{11} ~ f + ... + ∂_{nn} f. \)

Sei \( f ∈ C^2(ℝ^2,ℝ) \) und \( P: ℝ_{+}  \) x \( ℝ ∋(r,φ) ↦ (r \cos φ , r \sin φ) ∈ ℝ^2 \) die Polarkoordinatenabbildung.

Zeigen Sie, dass mit \( F := f \circ P ∈ C^2(ℝ_{+} \) x \(ℝ,ℝ\) gilt:

\( \frac{∂^2} {∂ r^2} F + \frac{1}{r^2} \frac{∂^2}{ ∂ φ^2} F + \frac{1}{r} \frac{∂}{∂ r} F (r,φ) = (Δf)(P(r,φ)) \)

Ich bin mir nicht ganz sicher was ich hier zeigen soll. Dass man den Laplace-Operator in Polarkoordinaten schreiben kann oder das diese Verknüpfung möglich ist? Mir fehlt jeglicher Ansatz.

Comments

 F := f · P (· = verknüpft)

P(r,φ) = (r cos φ, r sin φ), f ∈ C^2

Ich habe jetzt x = r cos φ und y = r sin φ gesetzt

Wen ich dF/dr ableite, erhalte ich mit der Kettenregel: dF/dr = dF/dx dx/dr . Jetzt will ich das nochmal nach r ableiten, aber weiß nicht wie.

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Was ist bei euch  " f ∈ C²  "?

Einfach ein Vektor mit 2 komplexen Komponenten?

Dann ist  ^.   eigentlich eher ein Skalarprodukt als eine Verknüpfung von Funktionen. Da braucht man dann keine Kettenregel. 

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Es geht um diese Aufgabe, da stehen die restlichen Infos:

https://www.mathelounge.de/364680/laplace-operator-polarkoordinaten

Mit C^2 ist der Raum der zweimal stetig diffb. Funktionen gemeint.

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C^k = k-mal stetig differenziertere Funktionen

dF/dr ist mit Kettenregel abgeleitet worden. Jetzt muss ich das aber nochmal nach r ableiten.

Aufgabe ist das hier: https://www.mathelounge.de/364680/laplace-operator-polarkoordinaten

Dort ist zwar ein Link angegeben zu einer Lösung, aber der verwirrt mich ehrlicherweise.

· ist eigentlich ein Kringel, und der war bei uns immer für "Verknüpfung" gemeint.

EDIT: Ich glaube ich hab mich etwas blöd ausgedrückt: Meine Frage ist eher, wie das ganze formal aussieht, also wie ich das aufschreiben muss.

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Siehe hier

https://www.mathelounge.de/364680/laplace-operator-polarkoordinaten#c364990

@Lu: \( f \in C^2 \) bedeutet, f ist eine zweimal stetig differenzierbare Funktion.

Answer 1

Siehe hier

https://www.mathelounge.de/242676/transformation-auf-polarkoordinaten

Comments

Hmm ok hab mir die Rechnung angeguckt und die verwirrt mich etwas, da ich ja noch mein \( F := f \circ\ P \) habe. Habe noch einen anderen Ansatz gefunden und bin gerade etwas am hapern.

x = r cos δ , y = r sin φ

Ich habe dF/dr mit der Kettenregel abgeleitet, was wie folgt aussieht:

dF/dr = dF/dx * dx/dr

Jetzt will ich das ganze nochmal ableiten nach r, aber wie geht das bzw. wie sieht das formal aus ?

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Hi,

die Ableitung nach \( r \) ist nicht richtig, da fehlt noch was. Es gilt ja

$$ F(r,\varphi) = f(r \cos(\varphi) , r \sin(\varphi) ) $$

Also folgt

$$  F_r = f_x x_r + f_y y_r = f_x \cos(\varphi)  + f_y \sin(\varphi) $$

$$  F_{rr} = f_{xx} \cos(\varphi)^2 + f_{yy} \sin(\varphi)^2 $$

$$ F_{\varphi} = -f_x r \sin(\varphi) +f_y r \cos(\varphi)  $$

$$ F_{\varphi \varphi} = f_{xx} r^2 \sin(\varphi)^2 - f_x r \cos(\varphi) + f_{yy} r^2 \cos(\varphi)^2 - f_y r \sin(\varphi) $$

Daraus folgt

$$ F_{rr} + \frac{1}{r^2} F_{\varphi \varphi} +\frac{1}{r} F_r = f_{xx} + f_{yy} = \Delta f  $$

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Das kann man dann einfach so schreiben ? Fehlt da nicht noch ein Schritt zwischen den Ableitungen und der Lösung ?

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Naja, den letzten Schritt musst Du dann schon selber machen. Aber eigentlich benutzt man hier nur \( \cos(\varphi)^2 + \sin(\varphi)^2 = 1 \)

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Hätte mich jetzt gewundert, dass man das auch einfach so folgern kann.

Noch eine Frage: Wenn ich \( F_{φφ} \) berechne, woher kommen denn die \( -f_{x} r \ cos\  φ\) und \( -f_{y}r \ sin \  φ\) ?

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Wenn man den Term \(   -f_x r \sin(\varphi)  \) nach \( \varphi \) differenziert, muss man \( f_x \)  und \( r \sin(\varphi)  \) nach \( \varphi \) differenzieren. Letzteres ergibt den nachgefragten Term.