Transformation auf Polarkoordinaten

Question

Aufgabe:

Transformation auf Polarkordinaten: Seien \( u=u(x, y): \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und

\( \left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right)=\Phi(r, \varphi)=\left(\begin{array}{l} r \cos \varphi \\ r \sin \varphi \end{array}\right), \quad(r, \varphi) \in D=\{0 \leq \varphi \leq 2 \pi, r>0\} \)

die Polarkoordinaten im \( \mathbb{R}^{2} \).

a) Berechnen Sie die Ableitung von \( v=u \circ \Phi: D \rightarrow \mathbb{R} \).

b) Zeigen Sie, dass in \( D \) gilt

\( \Delta u:=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} v}{\partial \varphi^{2}} \)

Answer 1

Hi,man kan die Funktion \(u(x,y)\)schreiben als
$$ u(x,y) = v(r(x,y),\varphi(x,y)) $$ mit
$$ r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} $$ und $$ \varphi(x,y)=\arctan\left(\frac{y}{x}\right) $$
Jetzt muss man \( u_{xx}=v_{xx} \text{ und } u_{yy}=v_{yy} \) mit Hilfe der Kettenregel ausrechnen. Es gilt
$$ u_x = v_r r_x + v_\varphi \varphi_x $$ und
$$ u_y = v_r r_y + v_\varphi \varphi_y  $$
und deshalb folgt
$$ u_{xx} = ( v_{rr} r_x +v_{r \varphi}\varphi_x ) r_x + v_r r_{xx} + ( v_{\varphi r} r_x + v_{\varphi \varphi} \varphi_x) \varphi_x + v_{\varphi} \varphi_{xx} $$ und das gleiche für \( u_{yy} \)
$$ u_{yy} = ( v_{rr} r_y +v_{r \varphi}\varphi_y ) r_y + v_r r_{y} + ( v_{\varphi r} r_y + v_{\varphi \varphi} \varphi_y) \varphi_y + v_{\varphi} \varphi_{y} $$
Weiter gilt
\( r_x = \frac{x}{r} \), \( r_y = \frac{y}{r} \), \( r_{xx} = \frac{y^2}{r^3} \) und \( r_{yy} = \frac{x^2}{r^3} \)
sowie
\( \varphi_x = -\frac{y}{r^2} \), \( \varphi_y = \frac{x}{r^2} \), \(  \varphi_{xx} = \frac{2xy}{r^4} \) und \( \varphi_{yy} = -\frac{2xy}{r^4} \)
Das alles eingesetzt ergibt
$$ \Delta v = v_{rr} + \frac{1}{r^2} v_{\varphi \varphi} + \frac{1}{r} v_r  $$