Dichte von einer Funktion berechnen

Question

ich soll die Dichte einer Funktion berechnen und hätte folgende Fragen.

1) Warum ist P(Y<=t) ? Woher weiß man das?

2) Warum ist im Fall 1  , für t>=b Fy = 1 und ansonsten 0 ?

3) Was wird in der Aufgabe benützt? Normal oder Exponentialverteilung? Woher erkennt man das?

Answer 1

> Warum ist P(Y<=t) ? Woher weiß man das?

P(Y<=t) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable Y einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich t ist. Die Frage, warum P(Y<=t) "ist" ergibt keinen Sinn.

> Warum ist im Fall 1  , für t>=b Fy = 1 und ansonsten 0 ?

Für a=0 ist F_Y(t) = P(b≤t) die Wahrscheinlichkeit, dass b kleiner oder gleich t ist.

Ich setzte mal für b und t beispielhaft ein paar Werte ein:

• b = 3, t=5. Die Wahrscheinlichkeit, dass 3 ≤ 5 ist, ist 1.
• b = 7, t=5. Die Wahrscheinlichkeit, dass 7 ≤ 5 ist, ist 0.

> Was wird in der Aufgabe benützt? Normal oder Exponentialverteilung?

Es wird keine konkrete Wahrscheinlichkeitsverteilung benutzt. Der gezeigte Zusammenhang gilt für alle Wahrscheinlichhkeitsverteilungen.

Comments

Hätte ich hier, dann auch P( Y>= t) überprüfen können?

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P(Y<=t) wird nicht überprüft. P(Y<=t) wird verwendet.

Und zwar wird P(Y<=t) verwendet um die Verteilungsfunktion F_Y(t) der Zufallsvariablen Y zu definieren. Das ist üblich.

Nimmt man stattdessen P(Y>=t), dann kommt man zu einem anderen Begriff der Verteilungsfunktion. Das macht man nicht, so lange man nicht gut begründen kann, warum die Stochastiker der letzten 200 Jahre es falsch gemacht haben.

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Also sollte man ambesten immer <= benutzen?

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Wenn es darum geht, eine Verteilungsfunktion aufzustellen oder eine Verteilungsfunktion zu verwenden, dann sollte man immer ≤ verwenden. Andere Wahrscheinlchkeiten können auf den Fall ≤ zurückgeführt werden

Beispiel. Sei X eine Zufallsvariable. Berechne P(½≥X≥¼).

Lösung. Es ist

       P(½≥X>¼)

    = P(½≥X) - P(X>¼)

    = P(X≤½) - (1 - P(X≤¼))

    = P(X≤½) + P(X≤¼) - 1

Die Werte für P(X≤½) und P(X≤¼) kann man aus Tabellen der konkret vorliegenden Verteilung entnehmen oder von einem Computer berechnen lassen.