Sei \(A\in M_n(\mathbb{R})\) eine positiv definite symmetrische Matrix. Zeigen sie, dass es eine positiv definite symmetrische Matrix B gibt mit \(B^2=A\)
A ist diagonalisierbar, somit gibt es eine invertierbare Matrix S mit
A=S-1DS,
wobei D=diag(s_1,...,s_n) und s_1,...,s_n die Eigenwerte von A sind (diese sind positiv).
Setze $w_j:=√sj für j=1,...,n und W:=diag(w_1,...,w_n) und dann B:=S-1DS
Zeig, dass B das gewünschte leistet.
FRED
Reden wir nicht so viel herum. Ich gehe gleich in die Diagonaldarstellung von A . Ist E ( i ) ein Eigernwert von A , so folgt zwangsläufig sqr [ E ( i ) ] als der entsprechende Eigenwert von B .
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