Stetigkeit einer Funktion zeigen

Question

Zu folgender Funktion soll die Stetigkeit gezeigt werden. Spontan würde mir hier das epsilon delta Kriterium einfallen, nur leider weiß ich nicht, wie ich das im Mehrdimensionalen anwenden kann. Oder gibt es noch eine leichtere Lösung? Hier ist die Funktion

$$(x^3*y-x*y^3)/(x^2+y^2)$$

Comments

Falls \(f(0,0)=0\) definiert ist, bleibt die Stetigkeit im Nullpunkt zu zeigen.$$\left\vert\frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2}\right\vert=\left\vert xy\cdot\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right\vert\le\vert xy\vert\cdot\left\vert\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}\right\vert=\vert xy\vert.$$

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Heißt das, dass ich hier einfach nur abschätzen muss? Und woher weiß ich am Schluss, dass |xy| stetig ist? Ist mir leider noch nicht ganz klar.

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Zeige damit, dass  \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0\) gilt.

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Okay, danke für deine Hilfe!

Answer 1

Das ist eine gebrochen rationale Funktion

von zwei Variablen. Die sind an allen Stellen des

Definitionsbereiches stetig, da durch die Grundrechenarten

aus den eifachen Funktionen wie f(x,y) = x und

f(x,y)=y zusammengesetzt.

Comments

Danke für die superschnelle Antwort!

Ich habe aber gerade gesehen, dass die Aufgabe irgendwie nicht komplett erschienen ist.

Deswegen hier noch einmal:

 (x^3*y-x*y^3)/(x^2+y^2), falls x,y ≠ (0,0)

0, falls x,y = (0,0)

Sorry für meinen Fehler. Kannst du mir etwas über Stetigkeit im kritischen Punkt sagen? Der kritische Punkt ist hier 0. Aber wie zeige ich das?

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für die anderen Punkte ist es ja klar (s.o.).

Im Punkt (0;0) ist f durch den Term  nicht

definiert, deshalb wird hier f(0;0) = 0 gesetzt.

Das ist im Kommentar erledigt.