Wie müsste ich dann bei der Vollständigen Induktion erweitern?
mit qn+1+1 - qn+1?
EDIT: Einige Q durch q ersetzt.
Mach doch die Induktion mit der gegebenen Form:
wäre dann
∑ qk *q -∑ qk + qn+1+1 -qn+1 ?
Sry stehe gerade richtig auf dem schlauch :D
hier ist keine Induktion notwendig, es reicht elementare Rechenregeln zu benutzen:
$$ (q-1) \cdot \sum_{k=0}^n q^k = \sum_{k=1}^{n+1}q^k - \sum_{k=0}^n q^k = \ldots = q^{n+1} - 1 $$
Gruß,
das heißt ich arbeite also mit der Indexverschiebung?
Wenn du es so willst, dann ja.
Ach quatsch habe viel zu kompleziert gedacht habe jetzt das raus:
n
(q-1)∑ qk = qn+1 -1 = (q-1)(1+q+q²+q³+...+qⁿ) =
k=0
= q(1+q+q²+q³+...+qⁿ) -1(1+q+q²+q³+...+qⁿ) =
q + q² + q³ +...+ qⁿ + qⁿ⁺¹ -1-q - q² - q³-... - qⁿ = qⁿ⁺¹-1
da sich ja die Summanden q, q², ... , qⁿ aufheben.
Übrig bleibt die -1 und qⁿ⁺¹.
Jo genau, dies entspricht meiner Antwort ohne Verwendung der Summennotation. Der fehlende Zwischenschritt:
$$ \begin{aligned}(q-1) \cdot \sum_{k=0}^n q^k &= \color{green}{\sum_{k=1}^{n+1}q^k} - \color{orange}{\sum_{k=0}^n q^k} \\ &= \color{green}{q^{n+1}+ \sum_{k=1}^nq^k} - \color{orange}{\left(\sum_{k=1}^nq^k+1 \right) }= q^{n+1} - 1\end{aligned}$$
Ein anderes Problem?
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