a)
Sattelpunkt bei P\((2|3)\) verschieben um \(3\) nach ↓: P'\((2|0)\) Hier ist nun eine Dreifachnullstelle:
\(f(x)=a(x-2)^3\)
Y\((0|6)\) ↓: Y´\((0|3)\):
\(f(0)=a(0-2)^3=-8a=3\)
\(a=-\frac{3}{8} \):
\(f(x)=-\frac{3}{8}(x-2)^3\)
↑: \(p(x)=-\frac{3}{8}(x-2)^3+3\)
b)
Bestimmung der Fläche:
\(A= \int\limits_{0}^{6}(-\frac{3}{8}[(x-2)^3+3]dx =-\frac{3}{8} \int\limits_{0}^{6}[(x-2)^3-3]\)
Substitution:
\(x-2=u\) \(x=u+2\) \(dx=du\)
Veränderung der Grenzen:
untere Grenze: \(0-2=u\)→ \(u=-2\)
obere Grenze: \(6-2=u\)→\(u=4\)
\(A =-\frac{3}{8} \int\limits_{-2}^{4}[u^3-3]du=[-\frac{3}{8}( \frac{1}{4}u^4 -3u) ]_{-2}^{4}\)
Nun noch ausrechnen.
Resubstitution ist nun nicht mehr nötig, weil die Integralgrenzen angepasst sind.