Question

Könnte es sein, dass H eine Untergruppe ist, aber das neutrale Element von H ein anderes als das von G ist?  

Comments

Nein, vorausgesetzt, dass H eine Untergruppe von G ist.

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Wie kann ich das beweisen?

1. Zeigen Sie: Ist G eine Gruppe und ist a ∈ G ein Element, für das a ◦ a = a gilt, so ist a das neutrale Element von G.

2. Zeigen Sie: Ist H eine Untergruppe von G, so ist das neutrale Element von H das gleiche wie das neutrale Element von G.

3. Für Halbgruppen wäre die obige Behauptung falsch: Betrachten Sie N als Halbgruppe mit der Multiplikation als Verknüpfung. Geben Sie eine Teilmenge H ⊂ N an, die eine Halbgruppe mit neutralem Element ist, so dass das neutrale Element von H aber nicht das selbe ist wie das von N. (Geben Sie die beiden neutralen Elemente an.) (Zur Erinnerung: Wir fassen 0 als natürliche Zahl auf, d. h. N = {0, 1, 2, . . . })

   Das wurde uns als Hilfestellung gegeben. 

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1) aa=a → a^-1aa=a^-1a ↔ (a^-1a)a=e ↔ ea=e ↔ a=e → Behauptung mit e∈G als neutrales Element

2) Folgt direkt aus der Definition einer Gruppen, denn dort wird der Allquantor benutzt und das neutrale Element ist eindeutig.

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1) habe ich jetzt verstanden ;-)

Jetzt habe ich nur noch eine Frage zu 2):

Was ist ein Allquantor?

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Allquantor: ∀

Gilt eine Aussage ∀x∈G, so gilt sie automatisch auch für jede Teilmenge, das heißt, dass sich die Eigenschaft auf Teilemengen ''vererbt‘‘

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Was muss ich jetzt für 3) machen?

Geben Sie eine Teilmenge H ⊂ N an, die eine Halbgruppe mit neutralem Element ist, so dass das neutrale Element von H aber nicht das selbe ist wie das von N.

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Betrachte dafür einfach mal die natürlichen Zahlen und konstruiere dir ein einfaches Beispiel.

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Stehe irgendwie auf dem Schlauch :-(