Aufgabe:
Differentialrechnung Umkehrfunktion y = arcsin (√(x^2 -1)) nach x ableiten
$$y = \operatorname { arcsin } ( \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } )$$
Lösung:
\( y=\arcsin (\sqrt{x^{2}-1}) \)\( \sin (y)=\sin \arcsin (\sqrt{x^{2}-1}) \)\( \sin (y)=\sqrt{x^{2}-1} \quad |()^{2} \)\( \sin ^{2}(y)=x^{2}-1 \quad |+1 \)\( \sin ^{2}(y)+1=x^{2} \)$$ \begin{array}{l} {x=\pm \sqrt{\sin ^{2}(y)+1}} \\ {y=\pm \sqrt{\sin ^{2}(x |+1)}} \end{array} $$
Danke dir auf das selbe Ergebnis komme ich auch. wenn man nach x ableitet aber mein Prof kommt irgendwie auf das Ergebnis
$$y ^ { \prime } = \frac { x } { \sqrt { ( 2 - x ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } - 1 ) } }$$
könntest du mir eventuell sagen wieso
habs mal schnell gerechnet:
y = acrsin ( √ ( x^2 - 1 ) )Umkehrfunktionx = acrsin ( √ ( y^2 - 1 ) ) | sin ( )
sin ( x ) = √ ( y^2 - 1 ) [ sin ( x) ]^2 = y^2 - 1y^2 = [ sin ( x) ]^2 + 1y = ± √ ( [ sin ( x) ]^2 + 1 )
Dies ist die formelle Umstellung.Bliebe noch Def- und Wertebereich zu klärenbzw. ob die Umkehrfunktion eine Funktion ist.
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