Faktorisieren von 4x^2-8x+1

Question

Ich versuche mit dem Satz von Vieta die Gleichung 4(x^2-2x+1/4) zu lösen.

x1+x2=2 und x1*x2=1/4 aber diese Gleichungen schaffe ich nicht zu lösen.

Gibt es da noch einen anderen Weg?

Die Lösung lautet (2x-2-sqrt(3))*(2x-2+sqrt(3))

Answer 1

gibt es einen anderen weg? Ja z.B mit quadratischer Ergänzung und dann 3te. Binomische Formel.

Den Vorfaktor 4 lasse ich erstmal weg:

x²-2x+1/4=(x-1)^2+1/4-1

=(x-1)^2-3/4

=(x-1+√(3/4))*(x-1-√(3/4))

=(x-1+√(3)/2)*(x-1-√(3)/2)

Jetzt noch den Faktor 4 dazu:

4*(x-1+√(3)/2)*(x-1-√(3)/2)

=2*(x-1+√(3)/2)*2*(x-1-√(3)/2)

=(2x-2+√(3))*(2x-2-√(3))

Answer 2

4x²-8x+1  = 0   

4(x²-2x+1/4)  = 0    |  : 4

x²-2x+1/4= 0  

mit pq-Formel   p=-2  und  q = 1/4 


x =   1  ±√ ( 1 - 1/4 ) 

also x = 1 +0,5*√3   oder    x = 1 -0,5*√3 

also Faktorisierung

4(x²-2x+1/4) = 4(x  -  1 -0,5*√3 )*(x  -  1 +0,5*√3 )

= 2 (x  -  1 -0,5*√3 )*  2*(x  -  1 +0,5*√3 )


=   (2x-2-sqrt(3))*(2x-2+sqrt(3))