Gleichung lösen: sin^4(x) - cos^4(x) = 1/2

Question

x ist ein Winkel (Radiant) zwischen \( \frac{π}{2} \) und π. Die Gleichung ist zu lösen:

$$ sin^4(x) - cos^4(x) = \frac{1}{2} $$

Berechnen Sie sin(x) + cos(x).

Wie soll man bitte die beiden addieren?

Lösung: \( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \)

Answer 1

sin⁴(x) - cos⁴(x) = (sin²(x) - cos²(x))·(sin²(x) + cos²(x)) wegen binomische Formeln.

sin²(x) + cos²(x) = 1 wegen Pythagoras.

Also ist sin⁴(x) - cos⁴(x) = sin²(x) - cos²(x).

sin²(x) = 1 - cos²(x) ebenfalls wegen Pythagoras.

Also ist sin⁴(x) - cos⁴(x) = 1 - cos²(x) - cos²(x) = 1 - 2cos²(x)

1 - 2cos²(x) = 1/2 ⇔ cos²(x) = 1/4 ⇔ cos(x) ∈ {1/2, -1/2}.

Wegen x ∈ [π/2, π] muss cos(x) = -1/2 sein. Somit ist x = 2/3 · π.

sin(2/3 · π) = √3/2

Also ist sin(x) + cos(x) = √3/2 - 1/2 = (√3-1)/2.