Aufgabe:
\( \sinh (x)=\frac{1}{2}(\exp (x)-\exp (-x)), \quad \cosh (x)=\frac{1}{2}(\exp (x)+\exp (-x)) \)
(i) Bestimmen Sie \( \sinh ^{\prime} \) und \( \cosh ^{\prime} \) und zeigen \( \operatorname{Sie} \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
Wir erhalten so, dass für \( f:=\sinh \) und \( g:= \) cosh die Funktionen \( f \) und \( g \) die Funktionalgleichungen
\( f(0)+g(0)=1, \quad(f+g)^{\prime}=f+g, \quad g^{2}-f^{2}=1 \)
erfüllen.
Seien nun \( f \) und \( g \) Funktionen, die \( (*) \) erfüllen.
(ii) Zeigen Sie, es existiert ein \( c \in \mathbb{R}, \) sodass \( f+g=c \) exp. Bestimmen Sie insbesondere \( c \).
(iii) Zeigen Sie, dass \( g-f=1 / \) exp.
(iv) Folgern Sie, dass \( f=\sinh , g=\cosh \)
Problem/Ansatz:
Ich verstehe diese Aufgabe leider nicht und weiß nicht was ich in (ii) aufwärts tun muss, damit ich das zeigen kann.