sinh und cosh, zeigen dass ein c existiert, sodass f + g = c exp

Question

Aufgabe:

$\sinh (x)=\frac{1}{2}(\exp (x)-\exp (-x)), \quad \cosh (x)=\frac{1}{2}(\exp (x)+\exp (-x))$

(i) Bestimmen Sie $\sinh ^{\prime}$ und $\cosh ^{\prime}$ und zeigen $\operatorname{Sie} \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$ für alle $x \in \mathbb{R}$.
Wir erhalten so, dass für $f:=\sinh$ und $g:=$ cosh die Funktionen $f$ und $g$ die Funktionalgleichungen
$f(0)+g(0)=1, \quad(f+g)^{\prime}=f+g, \quad g^{2}-f^{2}=1$
erfüllen.

Seien nun $f$ und $g$ Funktionen, die $(*)$ erfüllen.

(ii) Zeigen Sie, es existiert ein $c \in \mathbb{R},$ sodass $f+g=c$ exp. Bestimmen Sie insbesondere $c$.

(iii) Zeigen Sie, dass $g-f=1 /$ exp.

(iv) Folgern Sie, dass $f=\sinh , g=\cosh$

Problem/Ansatz:

Ich verstehe diese Aufgabe leider nicht und weiß nicht was ich in (ii) aufwärts tun muss, damit ich das zeigen kann.

Answer 1

(ii)  Definiere die Funktion $h$ durch $h(x)=\big(f(x)+g(x)\big)\exp(-x)$. Differenzieren liefert$$\begin{aligned}\qquad h^\prime(x)&=\big(f(x)+g(x)\big)^\prime\exp(-x)-\big(f(x)+g(x)\big)\exp(-x)\\&=\big(f(x)+g(x)\big)\exp(-x)-\big(f(x)+g(x)\big)\exp(-x)\\&=0.\end{aligned}$$Es existiert also ein $c\in\mathbb R$ mit $h(x)=c$ für alle $x\in\mathbb R$.
Es folgt $c=\big(f(x)+g(x)\big)\exp(-x)$, d.h. $f(x)+g(x)=c\exp(x)$.
Insbesondere gilt für $x=0$: $f(0)+g(0)=c\exp(0)$, also $c=1$.

(iii)  $1=g^2-f^2=(g-f)(g+f)=(g-f)\exp\Longleftrightarrow g-f=\frac{1}{\exp}$.