integral von 1/(x^2+3x+1) bestimmen

Question

kann mir jemand sagen wie ich die Stammfkt folgender Funktion bestimmen kann? Ich habe versucht den Nenner mit polynomdivion aufzulösen, doch leider bringt mich das nicht wirklich weiter ...

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In den Tags hast du doch Partialbruchzerlegung

hin geschrieben,  befolgen deine eigenen Anweisungen ;).

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Wenn ich es hinkriegen würde, würde ich nicht fragen.... :/

Answer 1

Ist allerdings etwas "krumm", weil die Nullstellen  des Nenners

-3/2 ±√5 / 2 ist . Aber Partialbruchzerlegung geht damit nat.auch.

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 Kannst du mir vielleicht erklären wie man dann auf die Wurzel fünf im Nenner im Schritt partialbruchzerlegung durchführen kommt? Und warum genau steht im schritt davor im Nenner beide Male +3 und nicht -3?

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die Nullstellen  des Nenners sind -3/2 ±√5 / 2 .

also ist der Nenner

N = ( x - (-3/2 +√5 / 2) ) *( x - (-3/2 -√5 / 2) )

nach den Klammerregeln für minus gibt das

      =  ( x +3/2 -√5 / 2) *( x +3/2 + √5 / 2 )

und weil die wohl keine Brüche haben wollten, haben sie

den großen Bruch mit 4 erweiter, das gibt dann im Nenner

 ( 2x +3-√5  ) *( 2x +3 + √5 )

und damit kannst du dann die Part.bruchzerlegung machen.

Answer 2

der Weg über die quadr. Ergänzung ist auch möglich:

Answer 3

http://www.integralrechner.de/

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Ich Verstehe die Umformungen des Integrals im Schritt "partialbruchzerlegung durchführen" nicht. Wie genau wird die Wurzel fünf jetzt rausgezogen.

Answer 4

noch eine Variante der Problembewältigung:

$$ \,\frac1{x^2+3x+1} \, = \frac A{x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2)}+\frac B{x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2)}$$
$$ \,\frac1{x^2+3x+1} \, = \frac A{x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2)}+\frac B{x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2)} \, \vert\,\left( x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)\cdot \left( x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)$$
$$ \,\frac{\left( x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)\cdot \left( x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)}{x^2+3x+1} \, = \frac {A \left( x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)\cdot \left( x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)}{x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2)}+\frac {B \cdot  \left( x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)\cdot \left( x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)}{x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2)} \, \vert\,$$
$$ \,1 \, = A \cdot \left( x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)+B \cdot  \left( x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)$$
$$0 \cdot x  \,+1 \, = Ax+Bx+A \cdot \left( -(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)+B \cdot  \left( -(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)$$
$$0=A+B\quad \vert \quad B=-A$$
$$ \,+1 \, = A \cdot \left( -(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)-A \cdot  \left( -(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)$$
$$ \,+1 \, = A \cdot \left( -( - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)-A \cdot  \left( -( + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)$$
$$ \,+1 \, = A \cdot \left(  \frac  {\sqrt{5}}2 \right)+A \cdot  \left(  \frac  {\sqrt{5}}2 \right)$$
$$ \,+1 \, = A \cdot \sqrt{5}$$
$$  A = \frac 1 {\sqrt{5}}$$
$$  B = -\frac 1 {\sqrt{5}}$$
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$$ \,\frac1{x^2+3x+1} \, = \frac {\frac 1 {\sqrt{5}}}{x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2)}-\frac {\frac 1 {\sqrt{5}}}{x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2)}$$