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Bild Mathematik kann mir jemand sagen wie ich die Stammfkt folgender Funktion bestimmen kann? Ich habe versucht den Nenner mit polynomdivion aufzulösen, doch leider bringt mich das nicht wirklich weiter ...

von

In den Tags hast du doch Partialbruchzerlegung

hin geschrieben,  befolgen deine eigenen Anweisungen ;).

Wenn ich es hinkriegen wĂŒrde, wĂŒrde ich nicht fragen.... :/

4 Antworten

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Ist allerdings etwas "krumm", weil die Nullstellen  des Nenners

-3/2 ±√5 / 2 ist . Aber Partialbruchzerlegung geht damit nat.auch.

von 152 k

Bild Mathematik Kannst du mir vielleicht erklĂ€ren wie man dann auf die Wurzel fĂŒnf im Nenner im Schritt partialbruchzerlegung durchfĂŒhren kommt? Und warum genau steht im schritt davor im Nenner beide Male +3 und nicht -3?

die Nullstellen  des Nenners sind -3/2 ±√5 / 2 .

also ist der Nenner

N = ( x - (-3/2 +√5 / 2) ) *( x - (-3/2 -√5 / 2) )

nach den Klammerregeln fĂŒr minus gibt das

      =  ( x +3/2 -√5 / 2) *( x +3/2 + √5 / 2 )

und weil die wohl keine BrĂŒche haben wollten, haben sie

den großen Bruch mit 4 erweiter, das gibt dann im Nenner

 ( 2x +3-√5  ) *( 2x +3 + √5 )

und damit kannst du dann die Part.bruchzerlegung machen.

+1 Punkt

der Weg ĂŒber die quadr. ErgĂ€nzung ist auch möglich:

Bild Mathematik

von 77 k
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von 23 k

Ich Verstehe die Umformungen des Integrals im Schritt "partialbruchzerlegung durchfĂŒhren" nicht. Wie genau wird die Wurzel fĂŒnf jetzt rausgezogen.

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noch eine Variante der ProblembewÀltigung:


$$ \,\frac1{x^2+3x+1} \, = \frac A{x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2)}+\frac B{x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2)}$$
$$ \,\frac1{x^2+3x+1} \, = \frac A{x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2)}+\frac B{x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2)} \, \vert\,\left( x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)\cdot \left( x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)$$
$$ \,\frac{\left( x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)\cdot \left( x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)}{x^2+3x+1} \, = \frac {A \left( x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)\cdot \left( x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)}{x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2)}+\frac {B \cdot  \left( x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)\cdot \left( x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)}{x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2)} \, \vert\,$$
$$ \,1 \, = A \cdot \left( x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)+B \cdot  \left( x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)$$
$$0 \cdot x  \,+1 \, = Ax+Bx+A \cdot \left( -(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)+B \cdot  \left( -(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)$$
$$0=A+B\quad \vert \quad B=-A$$
$$ \,+1 \, = A \cdot \left( -(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)-A \cdot  \left( -(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)$$
$$ \,+1 \, = A \cdot \left( -( - \frac  {\sqrt{5}}2) \right)-A \cdot  \left( -( + \frac  {\sqrt{5}}2) \right)$$
$$ \,+1 \, = A \cdot \left(  \frac  {\sqrt{5}}2 \right)+A \cdot  \left(  \frac  {\sqrt{5}}2 \right)$$
$$ \,+1 \, = A \cdot \sqrt{5}$$
$$  A = \frac 1 {\sqrt{5}}$$
$$  B = -\frac 1 {\sqrt{5}}$$
---
$$ \,\frac1{x^2+3x+1} \, = \frac {\frac 1 {\sqrt{5}}}{x-(-\frac 32 + \frac  {\sqrt{5}}2)}-\frac {\frac 1 {\sqrt{5}}}{x-(-\frac 32 - \frac  {\sqrt{5}}2)}$$

von 14 k

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