Zur eindeutigen Bestimmung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades
f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e
werden 5 voneinander unabhängige Informationen benötigt, denn es muss ein Gleichungssystem mit 5 Variablen gelöst werden.
Zunächst bildet man die beiden ersten Ableitungen da man diese später benötigt:
f ' ( x ) = 4 a x 3 + 3 b x 2 + 2 c x + d
f ' ' ( x ) = 12 a x 2 + 6 b x + 2 c
Folgende Informationen sind der Aufgabenstellung zu entnehmen:
1) Der Graphen der Funktion geht durch den Urspung, also:
f ( 0 ) = 0 <=> a * 0 + b * 0 + c * 0 + d * 0 + e = 0 => e = 0
2) Der Graph der Funktion geht auch durch den Punkt ( - 2 | 2 ), also:
f ( - 2 ) = 2 <=> 16 a - 8 b + 4 c = 2
3) Im Ursprung hat der Graph eine waagerechte Tangent, die Ableitung der Funktion f ( x ) muss also an der Stelle x = 0 den Wert Null haben, also:
f ' ( 0 ) = 0 <=> 4 a * 0 + 3 b * 0 + 2 c * 0 + d = 0 => d = 0
4) Im Punkt ( .- 2 | 2 ) liegt ein Wendepunkt vor, also:
f ' ' ( - 2 ) = 0 <=> 48 a - 12 b + 2 c = 0
5) Im Punkt ( - 2 | 2 ) hat der Graph eine waagerechte Tangente, also (mit d = 0, siehe oben):
f ' ( - 2 ) = 0 <=> - 32 a + 12 b - 4 c + 0 = 0
e = und d = 0 ergeben sich sofort, die Lösung des verbleibenden Gleichungssystems ergibt:
a = 3/8 , b = 2 , c = 3
sodass also die gesuchte Funktion lautet:
f ( x ) = ( 3 / 8 ) x ^ 4 + 2 x ^ 3 + 3 x ²
Und so sieht ihr Graph aus:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%283%2F8%29x%5E4%2B2x%5E3%2B3x%5E2from-3to1
