Verwende die Axiome des angeordneten Körpers, z.B. bei a)
Es sei x>0 und y <0
dann folgt mit dem Axiom über die Verträglichkeit von +
y < 0 | +(-y)
0 < -y . Also kannst du die Ungl x > 0
nach dem 2. Axiom (Verträglichkeit mit Multiplikation )
mit -y multiplizieren und hast
x * (-y) > 0
-x*y > 0 | +xy
0 > xy q.e.d.
Und die Eindeutigkeit der 0 z.B. kannst du so zeigen:
Angenommen man hat zwei neutrale Elemente der Addition, etwa 0 und e.
Seien 0 und e Elemente von K, so dass für alle x ∈ K gilt
0+x = x und x+0 = x und auch e+x = x und x+e = x
Dann hast du insbesondere , wenn du in den ersten beiden
Gleichungen e statt x einsetzt 0+e=e und e+0=e
und bei den zweiten beiden 0 statt x gibt
e+0=0 und 0+e=0
also liefern z.B. die 1. und die 4. e=0.