Beweisen Sie dass die 0 und die 1 in K eindeutig bestimmt sind.

Question

Sei K ein angeordneter Körper und x, y ∈ K. Beweisen Sie die Aussagen

(1) (x > 0 ∧ y < 0) =) xy < 0 und 

(2) x > y > 0 ⇒ 0 < x^-1 < y^-1 

, dass die 0 und die 1 in K eindeutig bestimmt sind.

Answer 1

Verwende die Axiome des angeordneten Körpers, z.B. bei a) 

Es sei x>0 und   y <0 

dann folgt mit dem Axiom über die Verträglichkeit von +

y < 0   | +(-y) 

0 < -y    .  Also kannst du die Ungl  x > 0  

nach dem 2. Axiom (Verträglichkeit mit Multiplikation ) 

                 mit  -y multiplizieren und hast 

                        x * (-y) > 0  

                        -x*y    > 0    |  +xy 

                            0 >  xy           q.e.d.

Und die Eindeutigkeit der 0 z.B. kannst du so zeigen:

Angenommen man hat zwei neutrale Elemente der Addition, etwa 0 und e.

          Seien 0 und e Elemente von K, so dass für alle x ∈ K gilt 

             0+x = x und  x+0 = x  und auch   e+x = x und x+e = x

Dann hast du insbesondere , wenn du in den ersten beiden 

Gleichungen e statt x einsetzt     0+e=e und e+0=e  

und bei den zweiten beiden 0 statt x gibt 

                                                  e+0=0 und  0+e=0 

also liefern z.B. die 1. und die 4.        e=0.